[论文解读] Convergence of interaction-driven evolutions of dislocations with Wasserstein dissipation and slip-plane confinement

Maria Giovanna Mora, Mark A. Peletier+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Composite Material Mechanics参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文通过使用带有滑移面约束的改进 Wasserstein 距离以及归一化弹性能量的 Gamma 收敛性，严格证明了当 n → ∞ 时，n 个并行刃型位错在单一滑移面上的准静态、速率无关演化过程的收敛性。关键结果是离散位错动力学收敛至由弹性力与滑移面上受约束的耗散共同决定的连续演化过程。

ABSTRACT

We consider systems of $n$ parallel edge dislocations in a single slip system, represented by points in a two-dimensional domain; the elastic medium is modelled as a continuum. We formulate the energy of this system in terms of the empirical measure of the dislocations, and prove several convergence results in the limit $n o\infty$. The main aim of the paper is to study the convergence of the evolution of the empirical measure as $n o\infty$. We consider rate-independent, quasi-static evolutions, in which the motion of the dislocations is restricted to the same slip plane. This leads to a formulation of the quasi-static evolution problem in terms of a modified Wasserstein distance, which is only finite when the transport plan is slip-plane-confined. Since the focus is on interaction between dislocations, we renormalize the elastic energy to remove the potentially large self- or core energy. We prove Gamma-convergence of this renormalized energy, and we construct joint recovery sequences for which both the energies and the modified distances converge. With this augmented Gamma-convergence we prove the convergence of the quasi-static evolutions as $n o\infty$.

研究动机与目标

• 严格推导出受限于单一滑移面的准静态、速率无关刃型位错演化的连续极限。
• 提出一种改进的 Wasserstein 距离，以强制实现滑移面约束，确保仅当传输计划被限制在滑移面时，耗散才为有限值。
• 证明一种经过归一化的弹性能量泛函在多量位错极限下具有 Gamma 收敛性，从而消除发散的自能贡献。
• 构建联合恢复序列，以确保能量与耗散的同步收敛，从而实现完整演化过程的收敛。
• 建立离散位错演化向由弹性力与滑移面约束耗散共同决定的连续演化过程的收敛性。

提出的方法

• 通过单位质量的 empiricial measure µ ∈ P(Ω) 表征 n 个位错的系统，该 measure 定义在 Ω 上。
• 通过围绕位错核心的环路积分定义满足不相容性条件的应变场 β ∈ L²(Ω; R²×²)，从而定义弹性能量。
• 通过在每个位错 zᵢ 周围排除小球 Bεₙ(zᵢ) 实现核心去除正则化，从而得到区域 Ωₙ(µ)。
• 对能量进行归一化，以消除 O(n|log εₙ|) 量级的自能贡献，从而聚焦于相互作用能。
• 引入一种改进的 Wasserstein 距离 D(µ, ν)，该距离仅对被限制在滑移面上的传输计划为有限值，从而捕捉位错运动的物理约束。
• 通过构造在能量与距离上均收敛的恢复序列，证明归一化能量与改进耗散距离的联合 Gamma 收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n → ∞ 时，n 个位错的准静态演化是否收敛至一个明确定义的连续极限？
• RQ2 能否构造一种改进的 Wasserstein 距离，使其强制实现滑移面约束，并为物理上可接受的演化过程提供有限耗散？
• RQ3 尽管存在发散的自能贡献，归一化弹性能量在多量位错极限下是否仍具有 Gamma 收敛性？
• RQ4 能否构造联合恢复序列，使得能量与改进耗散距离能够同步收敛？
• RQ5 最终得到的连续演化是否满足能量一阶变分与耗散力之间的平衡关系，且该关系受滑移面约束？

主要发现

• 归一化弹性能量 Fₙ(µ) 的 Gamma 收敛性已证明，其极限能量泛函包含位错密度的相互作用能，且已消除发散的自能贡献。
• 仅对滑移面受约束的传输计划为有限值的改进 Wasserstein 距离，被证明是准静态演化过程的正确耗散距离。
• 存在联合恢复序列，可确保归一化能量与改进耗散距离的同步收敛。
• 离散的准静态演化收敛至一个由能量一阶变分与受滑移面约束的耗散力之间平衡所决定的连续演化过程。
• 极限演化满足：速度场 φ(t, x) 与能量一阶变分的负梯度方向一致，且在位错密度几乎处处几乎必然满足 |∂ₓ₁ δF/δµ| ≤ 1。
• 在满足 εₙ → 0, rₙ → 0, εₙ/rₙ³ → 0, 且 rₙn → 0 的尺度假设下，收敛性成立，这些条件确保了核心效应的消除与位错间的分离。