[论文解读] Convergence of random walks to Brownian motion in phylogenetic tree-space

Tom M. W. Nye|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Morphological variations and asymmetry被引用 7

一句话总结

该论文证明了在小步长和大步数极限下，Billera-Holmes-Vogtmann树空间上的随机游走收敛于布朗运动，为在系统发育树空间上构建参数化分布提供了实用近似。该收敛性使得可使用随机游走的转移核作为布朗运动分布的代理，实现统计建模。

ABSTRACT

The set of all phylogenetic (or evolutionary) trees for a fixed set of species forms a manifold-stratified geodesic metric space known as Billera-Holmes-Vogtmann tree-space. In order to analyse samples of phylogenetic trees it is desirable to construct parametric distributions on this space, but this task is very challenging. One way to construct such distributions is to consider particles undergoing Brownian motion in tree-space from a fixed starting point. The distribution of the particles after a given duration of time is analogous to a multivariate normal distribution in Euclidean space. Since these distributions cannot be worked with directly, we consider approximating them by suitably defined random walks in tree-space. We prove that as the number of steps tends to infinity and the step-size tends to zero, the distribution determined by the transition kernel of the random walk converges to that corresponding to Brownian motion. This result opens up the possibility of statistical modelling using distributions obtained from transition kernels of random walks and Brownian motion on tree-space. The methods developed here could be extended to establish similar results on other Euclidean complexes or manifold-stratified spaces.

研究动机与目标

• 开发一种在复杂、分层流形结构的系统发育树空间上构建参数化概率分布的方法。
• 解决在树空间上直接处理布朗运动分布的挑战，因其解析上不可行。
• 确立树空间上的随机游走可作为布朗运动的计算可行近似。
• 为基于树空间中随机游走转移核导出的分布进行统计推断提供理论基础。

提出的方法

• 通过沿测地线以递减步长移动，在Billera-Holmes-Vogtmann树空间上定义一个随机游走。
• 将随机游走的转移核构造为系统发育树空间中一系列迭代测地线移动的组合。
• 分析当步数趋于无穷大且步长趋于零时，随机游走的极限分布。
• 利用树空间的几何与度量空间性质，包括其作为测地度量空间的结构，证明收敛性。
• 应用度量空间上随机过程的技术，证明随机游走分布弱收敛于布朗运动分布。
• 利用树空间的分层、非正曲率结构，确保在适当缩放下实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当步长趋近于零且步数趋近于无穷时，树空间上的随机游走是否能近似布朗运动的分布？
• RQ2 在树空间中，何种条件可确保随机游走分布收敛于布朗运动分布？
• RQ3 如何利用随机游走的转移核在系统发育树空间上建模统计分布？
• RQ4 树空间的何种几何性质使得随机游走能收敛于布朗运动？

主要发现

• 当步数增加且步长减小时，树空间上随机游走的分布弱收敛于布朗运动的分布。
• 该收敛性在树空间作为测地、分层流形度量空间且具有非正曲率的几何结构下成立。
• 在标度极限下，随机游走的转移核近似于布朗运动的转移核。
• 该结果为将随机游走用作树空间上直接模拟布朗运动的实用替代方法提供了理论依据。
• 该方法可推广至其他具有类似几何性质的欧几里得复形及分层流形空间。