[论文解读] Convergence of some Mean Field Games systems to aggregation and flocking models

Martino Bardi, Pierre Cardaliaguet|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 38被引用 21

一句话总结

该论文建立了两类平均场博弈（MFG）系统在贴现率 λ→∞ 且控制成本消失时收敛于聚集与聚群模型的结论。对于耗散系数趋于零的二阶MFG系统，解收敛于聚集方程；对于加速度型的一阶MFG系统，解收敛于动力学Cucker-Smale模型。极限动力学表现为在极限代理密度下运行成本的梯度下降。

ABSTRACT

For two classes of Mean Field Game systems we study the convergence of solutions as the interest rate in the cost functional becomes very large, modeling agents caring only about a very short time-horizon, and the cost of the control becomes very cheap. The limit in both cases is a single first order integro-partial differential equation for the evolution of the mass density. The first model is a 2nd order MFG system with vanishing viscosity, and the limit is an aggregation equation. The result has an interpretation for models of collective animal behaviour and of crowd dynamics. The second class of problems are 1st order MFGs of acceleration and the limit is the kinetic equation associated to the Cucker-Smale model. The first problem is analyzed by PDE methods, whereas the second is studied by variational methods in the space of probability measures on trajectories.

研究动机与目标

• 严格证明理性、近视代理在MFG系统中向聚集与聚群等集体行为模型的启发式收敛性。
• 分析耗散系数趋于零且贴现率较大（λ→∞）的二阶MFG系统极限，证明其收敛于聚集方程。
• 在相同渐近条件下研究加速度型一阶MFG系统，证明其收敛于动力学Cucker-Smale模型。
• 通过引入耗散系数趋于零与无限时间 horizon 的设定，统一并拓展[21]和[8]中先前的启发式结果。
• 采用PDE方法证明聚集情形的收敛性，采用测度空间中的变分方法证明Cucker-Smale情形的收敛性。

提出的方法

• 构建一个耗散系数 νλ→0+ 且贴现率 λ→∞ 的二阶MFG系统，使用哈密顿-雅可比-贝尔曼方程与类似福克-普朗克的连续性方程。
• 通过PDE技巧与紧致性论证，证明MFG解 (uλ, mλ) 收敛于聚集方程 ∂tm − div(m DxF(x,m)) = 0 的解 m。
• 分析最优反馈 −λDuλ，证明其一个几乎处处收敛于 −DxF(·,m)，即在极限代理密度下运行成本的梯度下降。
• 对于基于加速度的MFG系统，采用轨迹空间上概率测度的变分形式，最小化时间积分作用泛函。
• 证明轨迹测度族的紧致性与相对紧致性，进而识别极限为Cucker-Smale动力学方程的解。
• 利用欧拉-拉格朗日方程与分部积分推导极限动力学，通过[10]中的已知结果证明解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，耗散系数趋于零且贴现率较大的二阶平均场博弈系统会收敛于聚集方程？
• RQ2 在近视MFG框架（λ→∞）下，最优反馈控制如何与极限下运行成本的梯度下降相关联？
• RQ3 在控制成本消失且贴现率较大的条件下，加速度型一阶MFG系统能否收敛于动力学Cucker-Smale模型？
• RQ4 耗散系数趋于零（νλ→0+）在MFG解收敛于非扩散型集体模型过程中的作用是什么？
• RQ5 在所提出的渐近框架下，Cucker-Smale方程的极限测度解是否唯一？

主要发现

• 当 λ→∞ 且 νλ→0+ 时，二阶MFG系统解 mλ 收敛于聚集方程 ∂tm − div(m DxF(x,m)) = 0 的解 m。
• 最优反馈控制 −λDuλ 几乎处处收敛于 −DxF(·,m)，表示在极限代理密度下运行成本的梯度下降。
• 对于基于加速度的MFG系统，极限动力学由Cucker-Smale动力学方程描述，轨迹满足二阶常微分方程 ¨γ(t) = −DvF(γ(t), ˙γ(t), m(t))。
• 极限测度 m 是初始分布 m0 沿Cucker-Smale动力学流的像，由初始条件唯一确定。
• 收敛性沿子序列成立，且由于极限唯一，整个序列 (mλ) 收敛于极限方程的解。
• 本研究为理性MFG系统在代理近视且无成本极限下启发式推导聚集与聚群模型提供了严格的理论依据。