[论文解读] Convergence Rate of Euler-Maruyama Scheme for SDEs with Rough Coefficients

Jianhai Bao, Xing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了随机微分方程（SDEs）在粗糙系数下欧拉-马鲁亚马格式的收敛速率，涵盖非退化与退化情形。通过利用非退化柯尔莫哥洛夫方程的正则性及退化柯尔莫哥洛夫方程的正则化性质，证明了在 Dini 连续性和 Hölder-Dini 连续性条件下，$L^2$-范数下的收敛速率为 $ abla^{1/2}$，将结果拓展至非利普希茨或非 Hölder 连续系数的情形。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with convergence rate of Euler-Maruyama scheme for stochastic differential equations with rough coefficients. The key contributions lie in (i), by means of regularity of non-degenerate Kolmogrov equation, we investigate convergence rate of Euler-Maruyama scheme for a class of stochastic differential equations, which allow the drifts to be Dini-continuous and unbounded; (ii) by the aid of regularization properties of degenerate Kolmogrov equation, we discuss convergence rate of Euler-Maruyama scheme for a range of degenerate stochastic differential equations, where the drift is locally Hölder-Dini continuous of order $\frac{2}{3}$ with respect to the first component, and is merely Dini-continuous concerning the second component.

研究动机与目标

• 分析具有不规则（粗糙）系数的 SDE 中欧拉-马鲁亚马格式的收敛速率，特别是漂移项不满足利普希茨或 Hölder 连续性的情形。
• 将收敛速率结果推广至扩散矩阵可能奇异的退化 SDE。
• 在 Dini 连续性和 Hölder-Dini 连续性条件下建立收敛性，此类条件包含非 Hölder 连续但依然具有正则性的函数。
• 克服现有文献通常假设漂移有界或 Hölder 连续的局限，从而覆盖更广泛的 SDE 类别。
• 基于 PDE 技术，为具有不规则系数的 SDE 中数值方法提供严格的理论基础。

提出的方法

• 利用非退化柯尔莫哥洛夫方程的正则性理论，分析具有 Dini 连续且无界的漂移的非退化 SDE 的收敛性。
• 应用退化柯尔莫哥洛夫方程的正则化性质，处理具有退化扩散矩阵的 SDE。
• 采用 Zvonkin 型变换与热核估计，控制欧拉-马鲁亚马近似中的误差。
• 通过伊tô公式与泰勒展开实施扰动分析，以界定精确解与数值解之间的差异。
• 在推导出方案的 $L^2$-误差的随机积分不等式后，应用 Gronwall 不等式。
• 依赖 Dini 和 Hölder-Dini 连续性条件，控制漂移的连续模，从而允许非利普希茨行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 Dini 连续且无界漂移系数的 SDE，欧拉-马鲁亚马格式的收敛速率是多少？
• RQ2 当扩散矩阵非一致非退化时，退化 SDE 中的收敛速率是否仍能保持？
• RQ3 当漂移仅在第一分量为 Hölder-Dini 连续性阶数 $ abla^{2/3}$ 时，收敛速率如何依赖于漂移的正则性？
• RQ4 是否可在弱于利普希茨或 Hölder 连续性的正则性假设下建立收敛速率？
• RQ5 退化柯尔莫哥洛夫方程的正则化性质在控制粗糙 SDE 的数值误差中起什么作用？

主要发现

• 对于具有 Dini 连续且无界漂移的非退化 SDE，欧拉-马鲁亚马格式在 $L^2$-范数下达到 $ abla^{1/2}$ 的收敛速率。
• 对于退化 SDE，当漂移在第一分量中为局部 Hölder-Dini 连续性阶数 $ abla^{2/3}$ 且在第二分量中为 Dini 连续时，该格式以 $ abla^{1/2}$ 的速率收敛。
• 在漂移满足函数 $ abla \in \mathscr{D}^\varepsilon$ 的 Dini 连续性条件下，建立了收敛速率，该条件允许非 Hölder 连续行为。
• 分析依赖于非退化与退化柯尔莫哥洛夫方程解的正则性，从而可通过 PDE 技术实现误差估计。
• 关键技术步骤包括利用 Hölder 不等式、Jensen 不等式以及 $ abla^2$ 和 $ abla^{2(1+\varepsilon)}$ 的凹性来界定误差项，确保可积性。
• 最终通过 Gronwall 不等式推导出误差界，得到与 $ abla$ 形式无关的统一 $L^2$-误差估计，其阶为 $ abla^{1/2}$，只要 $ abla$ 满足所需条件。