[论文解读] Convergence to the Mahler measure and the distribution of periodic points for algebraic Noetherian $\mathbb{Z}^d$-actions

Vesselin Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用 7

一句话总结

该论文证明，在固定阿基米德嵌入下，当 $ N \to \infty $ 时，$ \mathbb{G}_m^d(\overline{\mathbb{Q}}) $ 中 $ N $-挠点 $ \boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d $ 上 $ \log|P(\boldsymbol{\zeta})| $ 的平均值收敛于洛朗多项式 $ P $ 的 Mahler 测度。该结果表明，在紧致阿贝尔群上的诺特 $ \mathbb{Z}^d $-作用中，周期点分支的指数增长速率与拓扑熵一致，且其 Haar 测度弱*收敛于最大熵测度。

ABSTRACT

For every $P \in \mathbb{Z}[x_1^{\pm 1}, \ldots, x_d^{\pm 1}] \setminus \{0\}$, and every $\varepsilon > 0$, we prove that there are a computable function $M = M(d,\varepsilon,°{P},h(P)) < \infty$ and a finite union $Z = Z(d,\varepsilon,°{P},h(P))$ of proper torsion cosets $\boldsymbolμ T \subsetneq \mathbb{G}_m^d$ such that, for every $N \in \mathbb{N}$, $Z$ contains all but at most $M$ of the torsion points $\boldsymbolζ \in μ_N^d$ satisfying $|P(\boldsymbolζ)| < e^{-\varepsilon ϕ(N)}$. This extends a well known structural theorem from torsion points lying exactly on a variety to torsion points lying very near to the subvariety. As a consequence, we prove that the averages of $\log{|P(\mathbf{x})|}$ over $μ_N^d$ converge as $N o \infty$ to the Mahler measure of $P$. By the work of B. Kitchens, D. Lind, K. Schmidt and T. Ward, the convergence consequence amounts to the following statement in dynamics: For every Noetherian $\mathbb{Z}^d$-action $T : \mathbb{Z}^d o \mathrm{Aut}(X)$ by automorphisms of a compact abelian group $X$ having a finite topological entropy $h(T)$, the exponential growth rate of the number of connected components of the group $\mathrm{Per}_N(T)$ of $N \cdot \mathbb{Z}^d$-periodic points of $(X,T)$ exists as $N o \infty$, and equals the topological entropy $h(T)$. Moreover, it follows that all weak-$*$ limit measures of the push-forwards of the Haar measures on $\mathrm{Per}_N(T)$, under any a sequence of positive integers $N$, are measures of maximum entropy $h(T)$. Our main arithmetic result extends to Diophantine approximation by points of sufficiently small canonical height. It is best possible in such a generality, where an exceptional set is an inevitable feature.

研究动机与目标

• 解决动力系统中长期悬而未决的难题：在紧致阿贝尔群上的诺特 $ \mathbb{Z}^d $-作用中，周期点的渐近增长速率。
• 证明对于此类作用，$ \mathrm{Per}_N(T) $ 的连通分支数的指数增长速率收敛于拓扑熵 $ h(T) $。
• 在有限熵与诺特性假设下，证明 $ \mathrm{Per}_N(T) $ 上归一化 Haar 测度的弱*极限为最大熵测度。
• 通过将 torsion 点的丢番图逼近与动力学等分布性联系起来，统一数论与动力学视角。
• 提供一种新的、基于数论的周期轨道等分布性证明路径，与现有的遍历理论方法形成互补。

提出的方法

• 建立 $ \mathbb{G}_m^d(\overline{\mathbb{Q}}) $ 中 $ N $-挠点到代数子簇的距离的次刘维尔型界，例外集一致有界。
• 应用该界证明：当 $ N \to \infty $ 时，对所有满足 $ P(\boldsymbol{\zeta}) \neq 0 $ 的 $ \boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d $，$ \log|P(\boldsymbol{\zeta})| $ 的平均值收敛于 $ P $ 的 Mahler 测度。
• 利用 Kitchens、Lind、Schmidt 与 Ward 的工作，通过代数 $ \mathbb{Z}^d $-作用与其周期点结构之间的对偶性。
• 在对偶群 $ X $ 上应用调和分析与交换代数，推导出 $ \mathrm{Per}_N(T) $ 上 Haar 测度的等分布性。
• 通过 Thang Le 的工作，将结果与同余覆盖的同调群中挠子群的增长联系起来，解决了挠子群增长问题的阿贝尔情形。
• 概述了一条替代路径：利用 Habegger 在 o-极小结构中可定义集的丢番图逼近结果，表明其界可推出收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致阿贝尔群上的诺特 $ \mathbb{Z}^d $-作用中，$ \mathrm{Per}_N(T) $ 的连通分支数的指数增长速率是否收敛于拓扑熵 $ h(T) $？
• RQ2 当 $ N \to \infty $ 时，$ \mathrm{Per}_N(T) $ 上的归一化 Haar 测度是否等分布于最大熵测度？
• RQ3 $ \mu_N^d $ 中 $ N $-挠点 $ \boldsymbol{\zeta} $ 上 $ \log|P(\boldsymbol{\zeta})| $ 的平均值是否收敛于 $ P $ 的 Mahler 测度？
• RQ4 能否通过 torsion 点逼近代数集的数论界来证明平均值收敛于 Mahler 测度？
• RQ5 能否从 o-极小结构中可定义集的丢番图逼近结果推导出周期点的动力学等分布性？

主要发现

• 当 $ N \to \infty $ 时，对所有满足 $ P(\boldsymbol{\zeta}) \neq 0 $ 的 $ \boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d $，$ \log|P(\boldsymbol{\zeta})| $ 的平均值收敛于 $ P $ 的 Mahler 测度。
• 对每个具有有限拓扑熵 $ h(T) $ 的诺特 $ \mathbb{Z}^d $-作用 $ T $，$ \mathrm{Per}_N(T) $ 的连通分支数以 $ e^{(1+o(1))h(T)N^d} $ 的速率增长。
• 所有 $ \mathrm{Per}_N(T) $ 上 Haar 测度的拉前像的弱*极限均为最大熵 $ h(T) $ 的测度。
• 该结果通过 Thang Le 的工作解决了有限单纯复形同余覆盖同调群中挠子群增长问题的阿贝尔情形。
• 存在一条替代证明路径，基于 Habegger 最近关于 o-极小结构中可定义集的丢番图逼近结果。
• 该收敛结果为半有效形式，且可推广至小 canonical 高度的点，暗示其与 Baker 定理的高维推广存在联系。