[论文解读] Convex computation of the maximum controlled invariant set for polynomial control systems

Milan Korda, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出一种凸优化方法，通过测度上的无限维线性规划（LP），计算多项式控制系统中最大可控不变（MCI）集。利用瞬时测度和对偶性，构建了一组有限维线性矩阵不等式（LMI）松弛问题的层次结构，其最优值收敛于MCI集的体积；同时，通过平方和（SOS）对偶问题，利用多项式上水平集生成收敛的外逼近。

ABSTRACT

We characterize the maximum controlled invariant (MCI) set for discrete- as well as continuous-time nonlinear dynamical systems as the solution of an infinite-dimensional linear programming problem. For systems with polynomial dynamics and compact semialgebraic state and control constraints, we describe a hierarchy of finite-dimensional linear matrix inequality (LMI) relaxations whose optimal values converge to the volume of the MCI set; dual to these LMI relaxations are sum-of-squares (SOS) problems providing a converging sequence of outer approximations to the MCI set. The approach is simple and readily applicable in the sense that the approximations are the outcome of a single semidefinite program with no additional input apart from the problem description. A number of numerical examples illustrate the approach.

研究动机与目标

• 解决非线性多项式控制系统中计算最大可控 invariant（MCI）集缺乏凸性、收敛性及通用性方法的问题。
• 克服先前方法的局限性，如仅产生凸多面体近似、需要预先设定集合几何形状，或缺乏收敛性保证。
• 为具有多项式动态和紧致半代数约束的离散与连续时间系统提供统一的框架。
• 建立矩问题（原问题）与平方和（SOS）问题（对偶问题）之间的对偶关系，实现对MCI集的收敛外逼近。
• 通过仅需系统描述作为输入、无需额外调参的半定规划（SDP）方法，提供计算上可行的实现。

提出的方法

• 将MCI集的计算表述为在非负测度上的无限维线性规划（LP），利用瞬时测度表示系统轨迹。
• 在紧化状态空间中引入松弛的鞅问题公式化，以处理有限逃逸时间并确保问题的良好定义性。
• 推导出测度空间中的原问题LP及其在连续函数空间中的对偶问题，在适当条件下建立强对偶性。
• 构建原问题LP的一系列有限维LMI松弛层次结构，其最优值收敛于MCI集的真实体积。
• 构建对偶SOS松弛，生成多项式上水平集作为MCI集的外逼近，且随着多项式次数增加而收敛。
• 利用对偶SOS多项式的上水平集生成MCI集的外逼近，其收敛性在极限下得到保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过具有收敛性保证的凸优化框架计算多项式控制系统的最大可控不变集？
• RQ2 MCI集如何表征为非负测度空间中无限维LP问题的解？
• RQ3 在逼近MCI集时，原问题矩问题与对偶问题SOS问题之间存在何种关系？
• RQ4 有限维LMI与SOS松弛能否提供对MCI集体积与边界收敛的逼近？
• RQ5 如何利用瞬时测度与鞅问题公式化统一处理离散与连续时间系统？

主要发现

• 多项式控制系统的MCI集被表征为非负测度锥上无限维LP问题的解。
• 原问题LP松弛生成一系列有限维LMI问题，其最优值收敛于MCI集的真实体积。
• 对偶SOS问题生成一系列多项式上水平集，作为MCI集的外逼近，且随着多项式次数增加而收敛于MCI集。
• 该方法适用于具有多项式动态和紧致半代数约束的离散与连续时间系统。
• 该方法仅需系统描述作为输入，通过单个半定规划即可生成逼近，无需额外调参。
• 数值例子表明，该方法在计算多种非线性系统的MCI集收敛外逼近方面具有有效性。