[论文解读] Convex Geometry of Orbits

Alexander Barvinok, Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Dec 12, 2003

Point processes and geometric inequalities参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一套凸几何框架，用于分析紧致群作用下轨道的性质，重点研究此类轨道极体中最大体积椭球。该研究为对称TSP多面体的内切球半径提供了紧致界，并利用群表示理论与球面上的测度集中现象，对非负齐次多项式锥的体积给出了精确估计。

ABSTRACT

We study metric properties of convex bodies B and their polars B^o, where B is the convex hull of an orbit under the action of a compact group G. Examples include the Traveling Salesman Polytope in polyhedral combinatorics (G=S_n, the symmetric group), the set of non-negative polynomials in real algebraic geometry (G=SO(n), the special orthogonal group), and the convex hull of the Grassmannian and the unit comass ball in the theory of calibrated geometries (G=SO(n), but with a different action). We compute the radius of the largest ball contained in the symmetric Traveling Salesman Polytope, give a reasonably tight estimate for the radius of the Euclidean ball containing the unit comass ball and review (sometimes with simpler and unified proofs) recent results on the structure of the set of non-negative polynomials (the radius of the inscribed ball, volume estimates, and relations to the sums of squares). Our main tool is a new simple description of the ellipsoid of the largest volume contained in B^o.

研究动机与目标

• 研究紧致群作用下轨道凸包所形成的凸体的度量性质。
• 计算对称TSP多面体中最大欧氏球的半径。
• 为非负齐次多项式集合的内切球半径与体积提供紧致估计。
• 通过一种新型椭球刻画，统一并简化已知关于平方和与非负多项式结果的证明。
• 利用球面积分，建立高维随机多项式$L^\f$范数的精确界。

提出的方法

• 利用紧致群$G$作用下轨道的凸包$B = \text{conv}(Gv)$的极体$B^\bullet$。
• 通过群不变积分，提出一种对$B^\bullet$中约翰椭球（最大体积椭球）的新刻画。
• 应用$SO(n)$的表示理论，分析$x^{\bigotimes m}$在单位球面上的轨道。
• 运用霍尔德不等式与詹森不等式，将多项式的$L^\f$-范数与球面积分关联。
• 利用球面上的测度集中现象，对$U_{m,n}$中随机多项式的平均$L^\f$-范数进行有界。
• 依赖于恒等式$\|p\|_\infty \approx \|p\|_{2k}$（其中$k \sim n\ln(m+1)$），该式由推论3.2与引理3.5导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称TSP多面体$ST_n$的内切球半径是多少？
• RQ2 在卡拉布里几何中，单位共质量球内包含的最大欧氏球的大小如何？
• RQ3 在高维空间中，非负齐次多项式集合与单位球的体积比是多少？
• RQ4 平方和集合与非负多项式全锥相比，其体积如何？
• RQ5 一个$n$元齐次多项式（次数为$m$）在单位$L^2$-范数下，其典型的$L^\infty$-范数大小是多少？

主要发现

• 对称TSP多面体$ST_n$中最大球的半径下界为$\alpha \sqrt{n \ln n}$，其中$\alpha > 0$为绝对常数。
• 单位$L^2$-范数的随机$n$元齐次多项式在高概率下满足$L^\infty$-范数为$O\bigl(\sqrt{n \ln(m+1)}\bigr)$。
• 非负齐次多项式锥$Pos_{2k,n}^\prime$与单位球的体积比满足$\left(\operatorname{vol} Pos_{2k,n}^\prime / \operatorname{vol} K\right)^{1/d} \geq \alpha (n \ln(2k+1))^{-1/2}$，其中$d = \dim U_{2k,n}$，$\alpha > 0$为绝对常数。
• 平方和集合的体积比满足$\left(\operatorname{vol} Sq_{2k,n}^\prime / \operatorname{vol} K\right)^{1/d} \leq \alpha \, 2^{4k} \binom{n+k-1}{k}^{1/2} \binom{n+2k-1}{2k}^{-1/2}$，当固定$k$时，其随$n^{-k/2}$衰减。
• $U_{m,n}$中单位向量的平均$L^\infty$-范数被有界于$\alpha \sqrt{n \ln(m+1)}$，其中$\alpha$为绝对常数。
• 证明$Pos_{2k,n}^\prime$体积下界的关键在于不等式$\left(\int_{\Sigma_{2k,n}} \|p\|_\infty^{-d} dp\right)^{1/d} \geq \left(\int_{\Sigma_{2k,n}} \|p\|_\infty dp\right)^{-1}$，该式由霍尔德与詹森不等式导出。