[论文解读] Convexity of length functions and Thurston's shear coordinates

Guillaume Théret|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文证明了在Teichmüller空间的Thurston剪切坐标系下，任意测度的测地线叶状丛的长度函数是凸的，当该叶状丛与剪切坐标系叶状丛的所有叶面横截相交时，其凸性为严格凸。该结果将先前关于简单闭测地线的凸性定理推广至所有测度叶状丛及所有完备测地线叶状丛作为坐标基的情形，适用于拉伸线和地震形变的研究。

ABSTRACT

We show that the length function of a measured geodesic lamination is convex in Thurston's shear coordinates over Teichmüller space and strictly convex for generic laminations. We give some consequences of this result in the context of Thurston's asymmetric metric on Teichmüller space.

研究动机与目标

• 将长度函数的凸性结果从简单闭测地线推广至Teichmüller空间中所有测度测地线叶状丛。
• 将凸性定理的有效性从基于裤分解的剪切坐标系扩展至任意完备测地线叶状丛。
• 在测度叶状丛与坐标叶状丛的所有叶面横截相交的条件下，建立长度函数的严格凸性。
• 将凸性结果应用于拉伸线和地震形变中，分析长度函数的行为。
• 统一并澄清文献中不同构造中剪切坐标系的使用。

提出的方法

• 利用测地线叶状丛的厚型轨道近似，在Teichmüller空间上定义局部剪切坐标系。
• 通过万有覆盖，严格定义完备测地线叶状丛补集中的理想三角形之间的剪切坐标。
• 将测度测地线叶状丛的长度表示为剪切坐标的函数，利用曲面的双曲度量。
• 应用凸分析技术，证明在这些坐标下长度函数为凸函数，且在横截相交条件下为严格凸。
• 利用拉伸线的对数参数化方法分析渐近行为，并推导出沿此类测地线的长度函数的凸性。
• 将凸性结果应用于地震形变，重新获得Kerckhoff关于地震形变下长度函数严格凸性的定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意以完备测地线叶状丛为坐标基的Thurston剪切坐标系，测度测地线叶状丛的长度函数是否为凸函数？
• RQ2 在何种条件下，该长度函数在这些坐标下为严格凸？
• RQ3 长度函数的凸性如何约束其在Teichmüller空间中拉伸线上的行为？
• RQ4 该凸性结果能否推广至地震形变？是否能恢复已知结果如Kerckhoff定理？
• RQ5 长度函数沿拉伸线的渐近行为如何？凸性如何与该行为相互作用？

主要发现

• 任意测度测地线叶状丛的长度函数在Thurston剪切坐标系下均为凸函数，该坐标系基于任意完备测地线叶状丛。
• 当且仅当测度叶状丛与坐标叶状丛的所有叶面横截相交时，长度函数为严格凸。
• 在以弧长对数参数化的拉伸线上，测度叶状丛的长度函数为严格凸，表明其单调递减或递增，具体取决于渐近行为。
• 对于环状叶状丛，其长度函数严格递减，并在参数趋于无穷时收敛于零。
• 当测度叶状丛与桩叶状丛及环状叶状丛均不相交时，其沿拉伸线的长度函数为常数或严格递减，且在正负无穷处均有有限正极限。
• 凸性结果表明，任意与地震叶状丛横截的测度叶状丛，在地震形变下其长度函数为严格凸，从而重新获得Kerckhoff定理。