[论文解读] Convexity properties of presymplectic moment maps

Yi Lin, Reyer Sjamaar|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文在群作用满足“洁净性”条件的前提下，为预辛矩映射建立了凸性定理，恢复了关键的辛几何结果——如矩多面体的凸性与Morse-Bott性质——即使在零叶层不构成阻碍的情况下亦然。主要贡献在于提出并证明了一个充分条件（洁净性），确保预辛流形上的矩映射保有类似于辛情形的凸性与Morse理论性质。

ABSTRACT

The convexity and Morse-theoretic properties of moment maps in symplectic geometry typically fail for presymplectic manifolds. We find a condition on presymplectic moment maps that prevents these failures. Our result applies for instance to Prato's quasifolds and to Hamiltonian actions on contact manifolds and cosymplectic manifolds.

研究动机与目标

• 确定辛几何中矩映射凸性定理可推广至预辛流形的条件。
• 解决由于非平凡零叶层的存在而导致标准凸性与Morse理论结果在预辛情形下失效的问题。
• 引入并形式化群作用的“洁净性”条件，作为恢复凸性与Morse-Bott行为的充分准则。
• 将结果推广至更广泛的几何对象，如拟流形、接触流形与余辛流形。
• 为未来工作奠定基础，将矩多面体解释为埃坦辛叠的内在不变量。

提出的方法

• 将预辛哈密顿 $ G $-流形定义为具有常秩闭2-形式及满足 $ d\tilde{\Phi}^\xi = \iota(\xi_X)\omega $ 的矩映射的流形。
• 引入“洁净性”条件：在每一点处，李代数的零理想在群轨道与叶层交集的切空间中张成。
• 证明在洁净性条件下，矩映射的纤维连通，且矩映射是开映射，从而实现拓扑控制。
• 建立矩映射像与一个Weyl壁的交集为闭凸多面集。
• 证明在洁净性假设下，矩映射的分量为Morse-Bott函数，推广了辛几何中的关键结果。
• 利用局部正规型定理构造每一点附近的模型邻域，表明该点的局部结构同构于包含辛截面与商数据的标准局部模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，辛几何中矩映射的凸性定理可推广至预辛流形？
• RQ2 如何系统性地防止预辛情形下凸性与Morse-Bott性质的失效？
• RQ3 零叶层在阻碍标准辛几何结果中起何作用，又如何加以控制？
• RQ4 在适当条件下，预辛几何中的矩多面体能否被表征为凸多面集？
• RQ5 矩多面体在多大程度上由流形的叶空间或叠化商决定？

主要发现

• 在洁净性与完备性假设下，矩映射像 $ \Delta(X) = \Phi(X) \cap C $ 为闭凸多面集。
• 矩映射的纤维连通，且映射 $ \Phi: X \to \Phi(X) $ 为开映射。
• 当且仅当零子群 $ N(X) $ 闭时，矩多面体 $ \Delta(X) $ 为有理多面集。
• 在洁净性条件下，预辛矩映射的分量为Morse-Bott函数，推广了辛几何中的基础性结果。
• 局部正规型定理表明，任意点的 $ G $-不变邻域同构于包含辛截面与商数据的标准模型。
• 如未来工作[13]所示，矩多面体的结构本质上是埃坦辛叠 $ \mathscr{X} $ 与叠化群 $ \mathscr{G} $ 的内在结构。