[论文解读] Convolutional codes from unit schemes

Ted Hurley|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数框架，通过单位代数方案构建卷积码，实现显式、高效且可扩展的设计，并保证纠错能力。通过利用可逆方案及其逆的结构，该方法直接计算校验矩阵和右逆，从而获得具有最大自由距离、高效代数译码能力的卷积码，并可生成LDPC、自对偶及对偶包含码——这对量子码构造至关重要。

ABSTRACT

Convolutional codes are constructed, designed and analysed using row and/or block structures of unit algebraic schemes. Infinite series of such codes and of codes with specific properties are derived. Properties are shown algebraically and algebraic decoding methods are derived. For a given rate and given error-correction capability at each component, convolutional codes with these specifications and with efficient decoding algorithms are constructed. Explicit prototype examples are given but in general large lengths and large error capability are achievable. Convolutional codes with efficient decoding algorithms at or near the maximum free distances attainable for the parameters are constructible. Unit memory convolutional codes of maximum possible free distance are designed with practical algebraic decoding algorithms. LDPC (low density parity check) convolutional codes with efficient decoding schemes are constructed and analysed by the methods. Self-dual and dual-containing convolutional codes may also be designed by the methods; dual-containing codes enables the construction of quantum codes.

研究动机与目标

• 为解决长期以来卷积码缺乏代数构造方法的问题，此前的方法依赖计算能力有限的搜索技术。
• 开发一种系统化、代数化的卷积码构造方法，可指定码率、记忆深度和纠错能力。
• 利用单位方案的结构性质，实现最大自由距离的码设计及高效可实现的译码算法。
• 将该框架扩展至生成特殊类码，包括LDPC、自对偶及对偶包含卷积码，应用于量子编码。

提出的方法

• 该方法从有限域上可逆单位方案的行或块结构构造卷积码。
• 生成矩阵由该方案导出的多项式矩阵构成，记忆深度由多项式项的次数决定。
• 校验矩阵和生成矩阵的右逆直接由单位方案的逆计算得出，支持高效译码。
• 校验矩阵的结构可避免短环路，支持代数译码，确保译码算法可实现。
• 采用具有低密度逆的特殊单位方案，构造具有稀疏校验矩阵的LDPC卷积码。
• 采用正交单位方案生成自对偶及对偶包含卷积码，尤其在特征2或3下，支持量子码构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过代数方法而非搜索，构造出具有最大自由距离和高效译码的卷积码？
• RQ2 如何系统性地利用单位方案生成具有特定码率、记忆深度和纠错能力的卷积码？
• RQ3 该框架能否生成具有低密度校验矩阵和高效译码的LDPC卷积码？
• RQ4 能否通过单位方案代数化构造自对偶及对偶包含卷积码，尤其在量子码应用中？
• RQ5 单位方案的何种结构性质可导致在距离和译码效率方面达到最优或近似最优的卷积码？

主要发现

• 该方法为给定参数构造出具有最大自由距离的卷积码，达到广义Singleton界。
• 实现了显式构造的7/8速率对偶包含卷积码，例如在特征2下构造出(16,14,14;1,4)码。
• 通过确保单位方案的逆具有低密度，构造出LDPC卷积码，得到无短环路的稀疏校验矩阵。
• 自对偶卷积码由正交单位方案生成，单个4×4正交方案可导出4!种不同的自对偶码。
• 代数译码算法直接由方案的逆推导得出，支持在纠错后高效恢复信息向量。
• 该框架包含现有构造为特例，支持可扩展的大长度码，具备高纠错能力。