[论文解读] Cooling and Low Energy State Preparation for 3-local Hamiltonians are FQMA-complete

Dominik Janzing, Paweł Wocjan+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文引入了量子复杂度类 FQMA，定义为需要为 QMA 问题准备量子见证态的问题集合。证明了准备三体哈密顿量的低能量态是 FQMA 完全问题，表明此类态的制备与求解 FQMA 中任意问题一样困难，并展示了可通过随系统尺寸多项式递减的温度下的热平衡态实现这一目标。

ABSTRACT

We introduce the quantum complexity class FQMA. This class describes the complexity of generating a quantum state that serves as a witness for a given QMA problem. In a certain sense, FQMA is the quantum analogue of FNP (function problems associated with NP). The latter describes the complexity of finding a succinct proof for a NP decision problem. Whereas all FNP problems can be reduced to NP, there is no obvious reduction of FQMA to QMA since the solution of FQMA is a quantum state and the solution of QMA the answer yes or no. We consider quantum state generators that get classical descriptions of 3-local Hamiltonians on n qubits as input and prepare low energy states for these systems as output. We show that such state generators can be used to prepare witnesses for QMA problems. Hence low energy state preparation is FQMA-complete. Our proofs are extensions of the proofs by Kitaev et al. and Kempe and Regev for the QMA-completeness of k-local Hamiltonian problems. We show that FQMA can be solved by preparing thermal equilibrium states with an appropriate temperature decreasing as the reciprocal of a polynomial in n.

研究动机与目标

• 定义并形式化量子复杂度类 FQMA，即 FNP 的量子类比，重点关注 QMA 问题中量子见证态制备的复杂度。
• 确立准备三体哈密顿量低能量态的问题在 FQMA 中是完全问题，从而识别出一个具有物理直观性的难题，完整体现了 FQMA 的困难程度。
• 展示此类态的制备可通过随系统尺寸多项式递减的温度下的热平衡态实现。
• 澄清 QMA（判定问题）与 FQMA（态制备）之间的区别，特别是由于量子见证态的性质，从 FQMA 到 QMA 并不存在直接的约化。

提出的方法

• 将 FQMA 定义为需要制备一个作为 QMA 决策问题见证态的量子态的问题类，类比经典复杂度中的 FNP。
• 定义三体哈密顿量的低能量态制备问题，目标是制备能量低于给定阈值 $ d_n $ 的态，且接近基态能量 $ g_n $。
• 使用吉布斯系综形式化方法建模热平衡态 $ \rho = \sum_j p_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $，其中 $ p_j \propto e^{-E_j/(KT)} $，以分析温度 $ T $ 下系统的平均能量。
• 推导出温度 $ T_n $ 的上界，使得若存在见证态，则吉布斯态的平均能量低于 $ d_n $，使用不等式 $ T_n < \frac{1}{K \tilde{q}(n)} $，其中 $ \tilde{q}(n) $ 是 $ n $ 的多项式。
• 证明对于接受间隙为 $ \epsilon $ 的 QMA 问题，温度 $ T_n < \frac{1-2\epsilon}{4\ln 2 K(L+1)n} $ 足够用于通过能量测量区分存在与不存在见证态的情形。
• 建立所需温度随系统尺寸 $ n $ 的倒数多项式递减，使得冷却机制在原则上可物理实现，优于指数冷却。

实验结果

研究问题

• RQ1 准备三体哈密顿量的低能量态的问题是否属于新定义的量子复杂度类 FQMA 的完全问题？
• RQ2 能否使用随系统尺寸多项式递减温度的热平衡态来求解 FQMA 问题？其所需温度的标度关系如何？
• RQ3 为何从 FQMA 到 QMA 没有明显的约化？量子见证态的性质与 FNP 中经典证明有何不同？
• RQ4 基态与第一激发态之间的能隙如何影响区分 FQMA 中“是”与“否”实例所需的温度？
• RQ5 将温度冷却至随系统尺寸倒数多项式递减的物理意义何在？这对于求解量子计算问题有何重要意义？

主要发现

• 准备三体哈密顿量低能量态的问题是 FQMA 完全问题，确立了其在 FQMA 类中的典型难解性。
• 当存在见证态时，温度满足 $ T_n < \frac{1}{K \tilde{q}(n)} $（其中 $ \tilde{q}(n) $ 是 $ n $ 的多项式）的热平衡态足以制备能量低于阈值 $ d_n $ 的态。
• 对于接受间隙为 $ \epsilon $ 的 QMA 问题，若温度满足 $ T_n < \frac{1-2\epsilon}{4\ln 2 K(L+1)n} $，则当存在见证态时，吉布斯态的平均能量将低于 $ \frac{1}{2(L+1)} $，从而可高效区分“是”与“否”实例。
• 所需温度随系统尺寸 $ n $ 的倒数多项式递减，使得冷却机制在原则上是物理可实现的，优于指数冷却。
• 当 $ (d-a)/(2KT) > n\ln 2 $ 时，吉布斯态的平均能量渐近小于 $ d_n $，而该条件可通过多项式递减的 $ T $ 实现，从而确保在存在见证态时制备出低能量态。
• 结果表明，冷却至如此低温足以求解任意 FQMA 问题，因此低能量态制备问题完整捕获了 FQMA 的全部复杂度。