[论文解读] Coordinate representation of the Lagrange-Poincaré equations for a mechanical system with symmetry on the total space of a principal fiber bundle whose base is the bundle space of the associated bundle

S. N. Storchak|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文推导了在主纤维丛的全空间上具有对称性的机械系统的拉格朗日-泊松方程的坐标表示，该主纤维丛的底空间为关联丛空间，通过依赖坐标和局部截面描述黎曼流形上两个相互作用的标量粒子的动力学。主要贡献在于显式地给出了约化方程的局部形式，包括通过动量和曲率张量的约束推导出的相对平衡方程。

ABSTRACT

Using the dependent coordinates, the local Lagrange-Poincaré equations and equations for the relative equilibria are obtained for a mechanical system with a symmetry describing the motion of two interacting scalar particles on a special Riemannian manifold (the product of the total space of the principal fiber bundle and the vector space) on which a free proper and isometric action of a compact semi-simple Lie group is given. As in gauge theories, dependent coordinates are implicitly determined by means of equations representing the local sections of the principal fiber bundle.

研究动机与目标

• 为在主纤维丛全空间上具有对称性的机械系统，提供拉格朗日-泊松方程的坐标表示。
• 通过引入依赖变量和类似规范的截面，将先前的一般形式结果扩展为局部坐标形式。
• 在约化系统中推导出相对平衡的显式方程，其中运动在对称性下保持静止且形状不变。
• 建立一个类似于规范场论的框架，利用局部截面在丛上定义适应坐标。

提出的方法

• 在乘积流形 P×V 上使用依赖坐标 (Q^A, f^n)，其中 P 为具有常数度量的向量空间 V 的主 G-丛的全空间。
• 通过局部截面 σ_i 定义适应坐标，利用类似规范的变换 (p,v) ↦ (σ_i(x), a(p)v)，引入与群相关的变量。
• 应用庞加莱变分原理，推导出包含度量相容性和基灵向量场的局部坐标下的约化拉格朗日-泊松方程。
• 利用连接形式 ω^Ẽ 和李代数的结构常数 c^γ_αβ，推导出方程的水平和垂直分量。
• 引入矩阵 d^μσ 作为轨道度量之和的逆矩阵，用于表达曲率与动量的耦合。
• 通过令 ω^Ẽ = 0，推导出相对平衡的方程，得到涉及 d^μσ 的协变导数和势能梯度的代数方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在主纤维丛上具有对称性的机械系统，在局部坐标下显式地表述拉格朗日-泊松方程？
• RQ2 依赖坐标和局部截面在将全空间上的动力学约化到轨道空间的过程中起什么作用？
• RQ3 当连接形式消失且动量受约束时，相对平衡方程如何产生？
• RQ4 在动量 p_α 和矩阵 d^μσ 的条件下，相对平衡方程的可解性需满足什么条件？
• RQ5 如何通过适应坐标系在约化方程中编码曲率张量和度量张量的结构？

主要发现

• 在坐标形式下推导出局部拉格朗日-泊松方程，即方程 (34)、(35) 和 (36)，通过水平和垂直分量表达动力学。
• 相对平衡方程由 (43) 给出：N^R_B (½(𝒟_R d^{κσ})p_κp_σ + V_,R) = 0 和 ½(𝒟_m d^{κσ})p_κp_σ + V_,m = 0，这些方程对动量和势能梯度施加约束。
• 在假设 p_α 为常数的条件下，垂直方程 (36) 简化为 c^ν_μβ d^{μσ} p_σ p_ν = 0，将平衡与 d^{μσ} 的特征向量联系起来。
• 相对平衡方程的可解性要求 p_α 与矩阵 d^{μσ} 的特征向量成比例，如方程 (44) 所示。
• 由于 d^{μσ} 与轨道度量之和 γ_μν 和 γ′_μν 之间存在逆关系，该方程组并非相互独立。
• 相对平衡方程的最终形式以矩阵形式表达，表明在 G^{H}_{ij} 矩阵变换下，水平和垂直约束实现了解耦。