[论文解读] Coordinate shadows of semi-definite and Euclidean distance matrices

Dmitriy Drusvyatskiy, Gábor Pataki+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文分析了半正定矩阵与欧几里得距离矩阵的坐标阴影——即正半定锥与EDM锥在指定矩阵元素上的投影——证明EDM锥的阴影始终闭合，而PSD阴影闭合当且仅当自环顶点与图其余部分不连通。在弦图条件下，可行区域的最小面具有组合描述，且完成问题的奇异度至多为一，从而可实现简化的面约减算法。

ABSTRACT

We consider the projected semi-definite and Euclidean distance cones onto a subset of the matrix entries. These two sets are precisely the input data defining feasible semi-definite and Euclidean distance completion problems. We classify when these sets are closed, and use the boundary structure of these two sets to elucidate the Krislock-Wolkowicz facial reduction algorithm. In particular, we show that under a chordality assumption, the "minimal cones" of these problems admit combinatorial characterizations. As a byproduct, we record a striking relationship between the complexity of the general facial reduction algorithm (singularity degree) and facial exposedness of conic images under a linear mapping.

研究动机与目标

• 表征半正定锥与欧几里得距离锥的坐标阴影何时闭合。
• 阐明这些阴影的几何结构及其在矩阵完成问题面约减中的作用。
• 通过其边界与面结构，统一分析半正定与欧几里得距离完成问题。
• 为Krislock-Wolkowicz面约减算法在EDM完成问题背景下的透明几何基础提供支持。
• 通过利用面的暴露性与组合面描述，将算法框架扩展至含噪声或不精确的EDM完成问题。

提出的方法

• 使用投影映射，将PSD与EDM锥在图的边集索引的矩阵元素子集上定义坐标阴影。
• 应用面约减理论，分析矩阵完成问题中可行区域的最小面。
• 采用基于团的约减策略，表明每个最大团均暴露一个包含可行集的面。
• 使用面共轭运算，将局部团空间中的暴露面与全局矩阵空间中的面相关联。
• 应用距离矩阵映射的广义逆，表征EDM锥中暴露面的特征。
• 建立在弦图条件下，完成问题的奇异度至多为一，从而暗示高效的面约减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正半定锥的坐标阴影是闭的？
• RQ2 在何种条件下，欧几里得距离矩阵锥的坐标阴影是闭的？
• RQ3 这些阴影的边界结构如何影响矩阵完成问题中面约减的复杂度？
• RQ4 在弦图条件下，可行区域的最小面可给出何种组合描述？
• RQ5 能否利用阴影的几何性质，将EDM完成问题的面约减算法推广至含噪声或不精确数据的情形？

主要发现

• 欧几里得距离矩阵锥的坐标阴影始终闭合，与图结构无关。
• 正半定锥的坐标阴影闭合当且仅当具有自环的顶点集合与图其余部分不连通。
• 在弦图假设下，矩阵完成问题中可行区域的最小面可通过最大团给出组合描述。
• 当图是弦图时，完成问题的奇异度至多为一，暗示可实现高效的面约减。
• 通过利用坐标阴影的暴露面结构，EDM完成问题的面约减算法可被简化并推广至噪声环境。
• 本文建立了共轭优化问题的奇异度与线性映射下其像的面暴露性之间显著的联系。