[论文解读] Coordinates for the Universal Moduli Space of Holomorphic Vector Bundles

Jørgen Ellegaard Andersen, Niccolo Skovgård Poulsen|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通过基本群的表示和上半平面上的 $\bar{\partial}$-方程解，在亏格 $g > 1$ 的黎曼曲面上稳定全纯向量丛的全模空间上构造了两个不同的复解析坐标系。关键结果是：尽管这两个坐标系在度量展开中至二阶阶数下一致，但在三阶时出现差异，揭示了模空间曲率中非平凡的几何区别。

ABSTRACT

In this paper we provide two ways of constructing complex coordinates on the moduli space of pairs of a Riemann surface and a stable holomorphic vector bundle centred around any such pair. We compute the transformation between the coordinates to second order at the center of the coordinates. We conclude that they agree to second order, but not to third order at the center.

研究动机与目标

• 在任意亏格 $g > 1$ 的黎曼曲面上的稳定全纯向量丛邻域内，提供显式的复解析坐标。
• 比较两种不同的坐标系：一种基于普遍表示，另一种基于纤维化坐标（基空间上为 Bers 坐标，纤维上为 Zograf-Takhtadzhyan 坐标）。
• 在中心点处，将两种坐标系之间的无穷小变换计算至二阶。
• 为使用这些新坐标计算模空间的曲率奠定基础。

提出的方法

• 在上半平面 $\mathds{H}$ 上的平凡 $\mathbf{GL}(n,\mathbb{C})$-丛上构造一族丛映射 $\Phi^{\mu \oplus \nu}$，其解满足涉及 $\mu \in H^{0,1}(X, TX)$ 和 $\nu \in H^{0,1}(X, \operatorname{End}E)$ 的 $\bar{\partial}$-方程。
• 利用解 $\Phi^{\mu \oplus \nu}$ 通过共轭作用定义新的表示 $\rho^\mu$ 和 $\rho_E^{\mu \oplus \nu}$，从而在 $\mathcal{T} \times M'$ 上诱导局部坐标。
• 利用 Narasimhan-Seshadri 定理，将模空间识别为 $\pi_1(\Sigma)$ 的普遍中心 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-扩张到 $\mathbf{U}(n)$ 的表示空间。
• 通过涉及 $\Delta_0^{-1}$、$\partial$、$\bar{\partial}$ 和伴随作用的 $\Sigma$ 上积分，推导出两种坐标系下度量的二阶变分。
• 通过比较涉及 $\partial \Delta_0^{-1} \partial^* \bar{\mu}$ 和 $\text{ad} \nu$ 相互作用的项，计算两种坐标系下度量展开在二阶项的差异。
• 通过识别纤维化坐标度量展开中相比普遍坐标多出四项、缺失两项，分析三阶项的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在中心点处，稳定全纯向量丛全模空间上构造的两种坐标系在度量展开中是否至二阶一致？
• RQ2 在三阶时，普遍坐标与纤维化坐标之间的几何差异的精确性质是什么？
• RQ3 模空间的曲率性质在这些坐标系下度量的二阶变分中如何体现？
• RQ4 能否使用普遍坐标计算模空间的完整曲率？若可，其主导阶贡献是什么？
• RQ5 解 $\Phi^{\mu \oplus \nu}$ 的 $\bar{\partial}$-方程在定义坐标变换函数中起什么作用？

主要发现

• 通过匹配度量的二阶变分，证明了普遍坐标与纤维化坐标在中心点处的度量展开中至二阶一致。
• 在三阶时，两种坐标系出现差异：纤维化坐标度量中出现了四项新项，而普遍坐标中的两项消失。
• 当 $\nu_1 \neq 0$ 且 $\mu_2 \neq 0$ 时，三阶项的差异严格为正，这是由于 $\Delta_0^{-1}$ 和迹形式的正定性所致。
• 纤维化坐标度量中的新项包括 $i \int_\Sigma \mu_3 \partial \Delta_0^{-1} \partial^* \bar{\mu}_2 \nu_1 \wedge \bar{\nu}_4^T$ 及类似涉及 $\partial^*$ 和 $\bar{\partial}^*$ 的表达式。
• 纤维化坐标中缺失的项为 $-i \int_\Sigma \text{tr} \bar{\mu}_2 \mu_3 \nu_1 \wedge \overline{\nu}_4^T$ 和 $-i \int_\Sigma \text{tr} \nu_3 \wedge \overline{\mu}_1 \bar{\mu}_4 \nu_2^T$，这些项在纤维化系统中消失。
• 三阶差异表明，两种坐标系在二阶以上并非等价，揭示了模空间局部结构中非平凡的几何区别。