[论文解读] Cops, Robber and Medianwidth Parameters

Konstantinos S. Stavropoulos|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文引入了 $i$-latticewidth，一种基于可等距嵌入到 $i$ 条路径的笛卡尔积中的中位图的中位分解定义的新图参数，形成了从路径宽到团数的层次结构。它将 $i$-latticewidth 表征为 $i$ 个路径分解的交集大小的最大值，并建立了与 $i$ 支协同行动的隐形警察团队参与的广义‘警察与强盗’游戏之间的直接联系，其中单调获胜策略恰好对应于有界 $i$-latticewidth。

ABSTRACT

In previous work, we introduced median decompositions, a generalisation of tree decompositions where a graph can be modelled after any median graph, along with a hierarchy of $i$-medianwidth parameters $(mw_i)_{i\geq 1}$ starting from treewidth and converging to the clique number. We introduce another graph parameter based on the concept of median decompositions, to be called $i$-latticewidth and denoted by $lw_i$, for which we restrict the modelling median graph of a decomposition to be isometrically embeddable into the Cartesian product of $i$ paths. The sequence $(lw_i)_{i\geq 1}$ gives rise to a hierarchy of parameters starting from pathwidth and converging to the clique number. We characterise the $i$-latticewidth of a graph in terms of maximal intersections of bags of $i$ path decompositions of the graph. We study a generalisation of the classical Cops and Robber game, where the robber plays against not just one, but $i$ cop players. Depending on whether the robber is visible or not, we show a direct connection to $i$-medianwidth or $i$-latticewidth, respectively.

研究动机与目标

• 定义并研究一种基于中位图分解为可等距嵌入到 $i$ 条路径的笛卡尔积中的图的新宽度参数 $i$-latticewidth。
• 建立从路径宽开始、收敛于团数的参数层次结构，类似于 $i$-中位宽层次结构，但基于路径而非树。
• 以图的 $i$ 个路径分解的交集大小最大值来表征 $i$-latticewidth。
• 将警察与强盗游戏推广为 $i$ 支协同行动的隐形警察团队参与的游戏，并证明在该游戏中单调获胜策略恰好刻画 $i$-latticewidth。

提出的方法

• 将 $i$-latticewidth $\operatorname{lw}_i(G)$ 定义为：存在一个中位图分解，使得该中位图可等距嵌入到 $i$ 条路径的笛卡尔积中，且所有袋子的大小至多为 $k$，此时 $k$ 的最小值。
• 证明 $\operatorname{lw}_i(G)$ 等于所有 $i$ 个顶点 $u_j$ 的 $i$ 重元组在 $G$ 的 $i$ 个路径分解中，交集 $\bigcap_{j=1}^i Z_u^j$ 的最大大小。
• 引入一种广义的警察与强盗游戏，包含 $i$ 支协同行动的隐形警察团队，每支团队采用路径分解策略。
• 证明 $i$ 支隐形警察团队可协同行动，以最多 $k$ 的合作程度单调搜索图 $G$，当且仅当 $\operatorname{lw}_i(G) \leq k$，并利用经典游戏中策略的改编方法。
• 利用中位图中的凸性和测地线性质，确保分解与搜索策略保持结构一致性。
• 利用中位图到路径乘积的等距嵌入，将游戏动态与图的结构参数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过限制中位分解为可嵌入到 $i$ 条路径乘积中的中位图，来定义一种新的宽度参数？
• RQ2 如何从图的多个路径分解的角度，对 $i$-latticewidth 进行结构表征？
• RQ3 是否存在一种基于 $i$ 支协同行动的隐形警察团队参与的广义警察与强盗游戏，来表征 $i$-latticewidth 的博弈论意义？
• RQ4 经典游戏中单调与非单调获胜策略的等价性（已知在 $i=1$ 时成立）是否可推广到 $i>1$ 的广义游戏中？
• RQ5 能否为 $i$-latticewidth 识别出类似树宽和路径宽中‘棘手结构’或次模函数的角色的阻碍结构或次模函数？

主要发现

• 参数 $i$-latticewidth $\operatorname{lw}_i(G)$ 构成一个非递增的层次结构，从路径宽 ($\operatorname{pw}(G)+1$) 开始，收敛于团数 $\omega(G)$。
• 对于任意 $i < i'$，存在一类图类，其 $i'$-latticewidth 有界但 $i$-latticewidth 无界，表明该层次结构具有显著区分的层级。
• $\operatorname{lw}_i(G)$ 恰好表征为所有 $i$ 个顶点 $u_j$ 的 $i$ 重元组在 $G$ 的 $i$ 个路径分解中，交集 $\bigcap_{j=1}^i Z_u^j$ 的最大大小。
• 图 $G$ 可被 $i$ 支隐形警察团队以最多 $k$ 的合作程度单调搜索，当且仅当 $\operatorname{lw}_i(G) \leq k$，从而建立了博弈论表征。
• 经典警察与强盗游戏中单调与非单调策略的等价性在 $i>1$ 时不一定成立，因为 $i$-latticewidth 的阻碍概念和次模性尚不明确。