[论文解读] Coron problem for nonlocal equations invloving Choquard nonlinearity

Divya Goel, K. Sreenadh+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 40被引用 6

一句话总结

该论文在内孔足够小时，证明了在环形区域中具有临界 Hardy–Littlewood–Sobolev 指数的非局部 Choquard 方程存在一个正的高能解。通过变分方法、Pohozaev 型恒等式以及全局紧致性引理，作者利用挠化引理和反证法证明了临界点的存在性，其依据是区域的拓扑约束。

ABSTRACT

We study the problem \[ -\De u = \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy ight)|u|^{2^*_μ-2}u, \; ext{in}\; \Om,\quad u = 0 \; ext{ on } \pa \Om , \] where $\Om$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N( N\geq 3)$, $2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$. we prove the existence of a positive solution of the above problem in an annular type domain when the inner hole is sufficiently small.

研究动机与目标

• 解决在非收缩区域中具有 Choquard 非线性项的非局部方程解的存在性与多重性这一开放问题。
• 将 Coron 关于临界椭圆方程的经典结果推广至涉及 Riesz 位势与 Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式的非局部情形。
• 通过半空间中的 Pohozaev 恒等式与有界区域中 Choquard 方程的全局紧致性引理，建立一个非存在性结果。
• 在内孔较小时，利用拓扑与变分论证，证明环形区域中正的高能解的存在性。

提出的方法

• 建立具有临界指数 $2^*_\mu = (2N - \mu)/(N - 2)$ 的 Choquard 方程，其非线性项为涉及 Riesz 位势的卷积型形式。
• 利用 Pohozaev 恒等式证明在 $\mathbb{R}^N_+$ 中解不存在，从而确立解存在的必要条件。
• 证明有界区域中 Choquard 方程的全局紧致性引理，该引理由于当 $\mu > \min\{4, N\}$ 时能量泛函缺乏 $C^2$ 正则性而至关重要。
• 通过连续形变映射 $D: \Sigma \times [0,1] \to \overline{\Omega}$ 应用挠化引理与反证法，以检测临界点。
• 利用集中紧致性原理分析序列的弱极限，并证明能量在区域中某一点处发生集中。
• 利用拓扑不变性：若 $\Sigma$ 为球面且 $D$ 为收缩映射，则产生矛盾，从而推出临界点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有临界 Hardy–Littlewood–Sobolev 指数的 Choquard 方程在非收缩区域中是否允许存在正的高能解？
• RQ2 能否通过变分与拓扑方法解决具有卷积非线性项的非局部方程的 Coron 型问题？
• RQ3 环形区域中内孔的大小在高能解的存在性中起何种作用？
• RQ4 能量泛函缺乏 $C^2$ 正则性对 Choquard 方程存在性理论有何影响？
• RQ5 在相关能量范围内，能否为关联泛函建立 Palais–Smale 条件？

主要发现

• 当内孔足够小时，环形区域中 Choquard 方程存在正的高能解。
• 与问题相关的泛函在区间 $\left(S_{H,L}, 2^{\frac{N-\mu+2}{2N-\mu}} S_{H,L}\right)$ 内满足 Palais–Smale 条件，从而支持临界点理论。
• Hardy–Littlewood–Sobolev 不等式中的最佳常数 $S_{H,L}$ 在极限情况下被取到，且集中紧致性原理证实了能量在某一点处的集中。
• 基于挠化引理与映射 $D$ 的矛盾论证表明，区域的拓扑性质（非收缩性）强制导致临界点的存在。
• 解 $u$ 属于 $C^2(\overline{\Omega}) \cap L^\infty(\Omega)$，且由最大值原理可知其在 $\Omega$ 中严格为正。
• 解的能量水平为 $\frac{N - \mu + 2}{2(2N - \mu)} c^{\frac{2N - \mu}{N - \mu + 2}}$，其中 $c$ 为序列范数的极限。