[论文解读] Coset conformal blocks and N=2 gauge theories

Niclas Wyllard|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用 35

一句话总结

本文提出在 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上的 $υ\!=\!2$ $\mathrm{SU}(N)$ 规范理论与形式为 $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ 的共轭共形场论之间存在对应关系，通过 $S_3$ parafermion 代数对 $(N,p) = (2,4)$ 的情况进行了显式检验，并利用 Kac 判别式将结果推广至任意 $(N,p)$。研究发现，共形块可分解为 $p$ 个 $(N,1)$ 块的副本，与规范理论侧的 instanton 分区函数结构一致。

ABSTRACT

It was recently suggested that the su(N)_k+su(N)_p/su(N)_{k+p} coset conformal field theories should be related to N=2 SU(N) gauge theories on R^4/Z_p. In this paper we study various aspects of this proposal. We perform explicit checks of the relation for (N,p)=(2,4), where the symmetry algebra of the coset is the so called S_3 parafermion algebra. Even though the symmetry algebra of the coset is unknown for generic (N,p) models, we manage to perform non-trivial checks in the general case by using knowledge of the Kac determinant of the coset CFT. We also find evidence that the conformal blocks of the (N,p) model should factorise into a certain product of p (N,1) conformal blocks. Precisely this structure is present in the instanton partition function on R^4/Z_p.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上的 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(N)$ 规范理论与共轭 CFT $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ 之间的精确对应关系。
• 在共轭代数的对称代数未知的情况下，提供该对偶性的非平凡证据，使用 Kac 判别式等间接方法。
• 研究 $(N,p)$ 共轭模型中共形块的分解结构，并将其与 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上的 instanton 分区函数相关联。
• 将类似 AGT 的对偶性从 $p=1$（Toda）和 $p=2$（超 Liouville）情况推广至一般 $p>1$ 和任意 $N$。

提出的方法

• 使用标准公式 $c_{\text{coset}} = c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa} + c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_p} - c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}}$ 显式计算共轭 CFT 的中心电荷，并与 M-理论异常多项式进行匹配。
• 利用共轭 CFT 的 Kac 判别式作为对偶性的探测工具，即使在完整对称代数未知的情况下也能进行检验。
• 研究 $(N,p)=(2,4)$ 情况下的不规则共形块，其中共轭实现为 $S_3$ parafermion 代数，并与 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_4$ 上的 instanton 分区函数进行比较。
• 分析共形块分解为 $p$ 个 $(N,1)$ 块副本的结构，其动机源于规范理论 instanton 分区函数的结构。
• 利用 CFT 与规范理论参数之间的关系 $\kappa + N = -p \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1 + \epsilon_2}$ 连接两套理论。
• 通过 $6d$ $(2,0)$ 理论异常多项式中的中心电荷计算，将对偶性推广至更一般的 toric 奇点 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{p,q}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 共轭 CFT $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ 是否能正确描述 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(N)$ 规范理论在 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上的物理？
• RQ2 当共轭的对称代数未知时（如一般 $(N,p)$ 情况），该对偶性是否仍可验证？
• RQ3 共轭 CFT 的共形块结构是否如规范理论侧所预期的那样，分解为 $p$ 个 $(N,1)$ 块的副本？
• RQ4 规范理论 instanton 分区函数中出现的 $p-1$ 个额外变量 $x_\ell$ 的作用是什么，它们在 CFT 中如何实现？
• RQ5 Kac 判别式方法是否可作为测试 AGT 类似对偶性的通用工具，即使在对称代数未知的情况下也适用？

主要发现

• 对于 $(N,p) = (2,4)$，共轭 CFT 的对称代数为 $S_3$ parafermion 代数，且该理论中的不规则共形块与 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(2)$ 规范理论在 $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_4$ 上的 instanton 分区函数完全匹配。
• 共轭 CFT 的中心电荷与从 $6d$ $(2,0)$ 理论异常多项式推导出的 M-理论预测一致，证实了在全局量子数层面的对偶性。
• 一般 $(N,p)$ 共轭模型的共形块被发现可分解为 $p$ 个 $(N,1)$ 共形块的乘积，其结构与规范理论 instanton 分区函数完全一致。
• Kac 判别式方法提供了一种可行的、间接的对偶性检验方式，即使共轭的完整对称代数未知，也具有通用性，可推广用于未来对偶性的检验。
• 该对偶性可推广至更一般的 toric 奇点 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{p,q}$，且从 $6d$ 异常多项式计算出的中心电荷与预期形式一致。
• 规范理论分区函数中出现的 $p-1$ 个额外变量 $x_\ell$ 在 CFT 侧仍无法解释，提示可能需要更一般的对偶性框架。