[论文解读] Asymptotically free N=2 theories and irregular conformal blocks

Davide Gaiotto|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 143

一句话总结

该论文通过引入与二次微分 $φ_2(z)$ 中高阶极点相关的不规则共形块，建立了渐近自由 $σ=2$ 规范理论中的瞬子划分函数与二维共形场论中共形块之间的对应关系。作者定义了能够逐阶重现规范理论划分函数的奇异 Virasoro 状态，对 $SU(2)$ 规范理论在 $N_f = 0,1,2,3$ 时实现精确匹配，并在 $N_f=2$ 情况下保持一致的虚假因子，从而通过不规则 punctures 将 AGT 对应关系扩展至渐近自由理论。

ABSTRACT

A surprising connection between N=2 gauge theory instanton partition functions and conformal blocks has been recently proposed. We illustrate through simple examples the generalization to asymptotically free N=2 gauge theories

研究动机与目标

• 通过将瞬子划分函数与共形块对应，将 AGT 对应关系从超共形理论扩展至渐近自由 $σ=2$ 规范理论。
• 定义与二次微分 $φ_2(z)$ 中 $z^{-3}, z^{-4}$ 极点相关的新型 Virasoro 状态——不规则态，这些状态对应于六维 $(2,0)$ 理论中的不规则 puncture。
• 证明这些不规则共形块能够重现 $SU(2)$ 规范理论在 $N_f = 0,1,2,3$ 额外风味下的瞬子划分函数，包括正确的 $q$-依赖关系和虚假因子。
• 提供一种系统性方法，通过 Virasoro 代数约束递归构造这些态，确保每一层级的一致性。

提出的方法

• 在 Virasoro Verma 模中定义奇异态 $|\Delta, \Lambda^2\rangle$，使其为 $L_1$ 的本征态且被 $L_2$ 湮灭，且满足 $L_n|\cdots\rangle = 0$ 对所有 $n > 2$，以模拟 $z^{-3}$ 极点。
• 通过要求 $L_n|\cdots\rangle = 0$ 对所有 $n > 3$，构造 $z^{-4}$ 极点的高阶不规则态，并利用 Virasoro 代数递归求解每一层级的后代。
• 使用内积 $\langle \Delta, \Lambda^2 | \Delta, \Lambda^2 \rangle = \sum \Lambda^{4n} |v_n|^2$ 计算共形块，使其与瞬子划分函数逐阶匹配。
• 将瞬子计数参数 $q$ 与 $N_f=0$ 时的 $\Lambda^4$、$N_f=2$ 第二种实现中的 $\Lambda^2$ 以及 $N_f=3$ 时的 $-2\Lambda$ 对应，与已知结果一致。
• 通过 $N_f=4$ 结果的渐近极限处理虚假因子，表明当 $N_f < 2$ 时虚假因子消失，但 $N_f=2$ 时由于质量缩放而保持有限。
• 利用六维 $(2,0)$ SCFT 的紧化与 codimension-two 简并缺陷实现规范理论，其中不规则 puncture 来自紫外极限下常规 puncture 的合并。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过不规则共形块将 AGT 对应关系扩展至渐近自由 $σ=2$ 规范理论？
• RQ2 如何定义 Virasoro 态以重现二次微分 $\phi_2(z)$ 中三阶与四阶极点的奇异行为？
• RQ3 在匹配至 $N_f=2$ 理论的瞬子划分函数时，共形块中的虚假因子起何作用？
• RQ4 不规则态的递归方程是否在所有层级上均有唯一形式解，如在第 8 层以内显式计算所暗示的那样？
• RQ5 不规则 puncture 处 $\sqrt{\phi_2(z)}$ 的边界条件能否以洛朗展开中固定系数的形式一致表述？

主要发现

• 由不规则态 $|\Delta, \Lambda^2\rangle$ 计算的内积 $\langle \Delta, \Lambda^2 | \Delta, \Lambda^2 \rangle$ 在 $SU(2)$ 与 $N_f=0$ 时与瞬子划分函数完全匹配，$q = \Lambda^4$，并逐阶验证至第 8 层。
• 在 $N_f=1$ 情况下，具有 $z^{-3}$ 与 $z^{-4}$ 极点的共形块在通过 $L_1|\psi\rangle = \Lambda^2|\psi\rangle$ 与 $L_2|\psi\rangle = 0$ 确定态后，正确重现了瞬子划分函数，$q = \Lambda^4$。
• 在 $N_f=2$ 情况下，具有两个 $z^{-4}$ 极点的共形块与瞬子划分函数匹配，$q = 4\Lambda^2$，但存在一个猜想为 $\exp(2\Lambda^2)$ 的虚假因子。
• 在 $N_f=2$ 的第二种实现中，一个不规则态与两个常规态的三点多函数精确重现了瞬子划分函数，$q = \Lambda^2$，且无虚假因子。
• 在 $N_f=3$ 情况下，一个 $z^{-4}$ 极点与两个常规 puncture 的三点多函数重现了瞬子划分函数，$q = -2\Lambda$，但存在一个虚假因子 $\exp(1/b + b - 2m_1)$，其与 $N_f=4$ 因子的渐近极限一致。
• 作者猜想不规则态可作为形式幂级数存在，满足对所有 $n > N$ 有 $L_n|\psi\rangle = 0$，且 $L_1, \dots, L_{N-1}$ 作为常数乘法作用，且在每一层级上此类态唯一。