[论文解读] Coset Vertex Operator Algebras and $\W$-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Cuipo Jiang|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文给出了共形顶点算子代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ 的权三生成元的显式构造，并证明当 $ n=3 $ 时，该共形代数同构于 $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $，从而验证了关于 $ \mathfrak{sl}_3 $ 型 $ \mathcal{W} $-代数的水平-秩对偶性的一个猜想。

ABSTRACT

We give an explicit description for the weight three generator of the coset vertex operator algebra $C_{L_{\widehat{\sl_{n}}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\sl_{n}}}(1,0)}(L_{\widehat{\sl_{n}}}(l+1,0))$, for $n\geq 2, l\geq 1$. Furthermore, we prove that the commutant $C_{L_{\widehat{\sl_{3}}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\sl_{3}}}(1,0)}(L_{\widehat{\sl_{3}}}(l+1,0))$ is isomorphic to the $\W$-algebra $\W_{-3+\frac{l+3}{l+4}}(\sl_3)$, which confirms the conjecture for the $\sl_3$ case that $C_{L_{\widehat{\frak g}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\frak g}}(1,0)}(L_{\widehat{\frak g}}(l+1,0))$ is isomorphic to $\W_{-h+\frac{l+h}{l+h+1}}(\frak g)$ for simply-laced Lie algebras ${\frak g}$ with its Coxeter number $h$ for a positive integer $l$.

研究动机与目标

• 显式描述共形顶点算子代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ 的权三生成元，其中 $ n \geq 2 $, $ l \geq 1 $。
• 证明共形代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l+1,0)) $ 同构于 $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $，从而验证了 $ \mathfrak{sl}_3 $ 情形下的一个猜想。
• 建立对单连通李代数，共形构造与 $ \mathcal{W} $-代数之间的一般同构关系，将顶点算子代数理论中的水平-秩对偶性推广。

提出的方法

• 作者使用共形构造，将共形代数 $ C_V(U) $ 定义为 $ V $ 中与子代数 $ U $ 互相作用的子代数，其中 $ V = L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) \otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0) $，$ U = L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0) $。
• 通过 Virasoro 代数的结构和融合规则，显式识别出共形代数的权三生成元。
• 一个关键技术工具是映射 $ \varphi $，它将共形代数中的元素映射到 $ \mathcal{W} $-代数中的 $ \widetilde{W} $-像，同时保持顶点算子代数的结构。
• 证明依赖于对权的归纳法，以及通过比较 $ W $-场及其 $ \widetilde{W} $-对应物的单项式之间的内积，来证明 $ \varphi $ 是同构。
• 作者利用已知的 parafermion 代数的 $ C_2 $-余有限性与有理性结果，以支持共形代数的结构。
• 通过比较特征标并利用 $ \mathcal{W}_{k}(\mathfrak{sl}_n) $ 的自对偶性，建立共形构造与 $ \mathcal{W} $-代数之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形顶点算子代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ 的权三生成元的显式形式是什么？
• RQ2 共形代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l+1,0)) $ 是否同构于形式为 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $ 的 $ \mathcal{W} $-代数？
• RQ3 等式 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(l+1,0)) \cong \mathcal{W}_{-h + \frac{l+h}{l+h+1}}(\mathfrak{g}) $ 是否对所有单连通李代数 $ \mathfrak{g} $ 成立，其中 $ h $ 为 Coxeter 数？

主要发现

• 对所有 $ n \geq 2 $ 和 $ l \geq 1 $，共形顶点算子代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ 的权三生成元被显式构造，为该代数的结构提供了具体的实现。
• 当 $ n = 3 $ 时，共形代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l+1,0)) $ 同构于 $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $，从而验证了 $ \mathfrak{sl}_3 $ 情形下的猜想。
• 通过从共形代数到 $ \mathcal{W} $-代数的满射顶点算子代数同态 $ \varphi $ 建立同构，该同构通过匹配特征标并利用对偶性得以证明。
• 证明依赖于一个关键引理：若 $ W $-场的单项式线性组合为零，则其对应的 $ \widetilde{W} $-场线性组合也必为零，从而保持内积结构。
• 作者证明了 $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{k}(\mathfrak{sl}_n) $ 是自对偶的，且由 $ \widetilde{W} $ 生成，这对同构证明至关重要。
• 该结果将水平-秩对偶性推广至 $ \mathcal{W} $-代数，表明共形构造产生具有中心荷 $ c = -3 + \frac{l+3}{l+4} $ 的 $ \mathcal{W} $-代数（对于 $ \mathfrak{sl}_3 $），并支持了对单连通李代数的一般猜想。