[论文解读] Could deformed special relativity naturally arise from the semiclassical limit of quantum gravity?

Lee Smolin|ArXiv.org|Aug 27, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 11被引用 17

一句话总结

本文提出，在量子引力的半经典极限中，当庞加莱质量 $M_{\text{Pl}} = \sqrt{\hbar/G}$ 保持固定而 $\hbar$ 和 $G$ 趋近于零时，形变的狭义相对论（DSR）会自然涌现。通过在具有固定宇宙学常数 $\Lambda$ 的量子引力理论中施加哈密顿约束，有效物质哈密顿量获得与能量相关的度规形变，其形式为 $M_{\text{Pl}}^{-1} \times E$ 的线性项，从而导致能量依赖的时空几何，且不破坏洛伦兹不变性。

ABSTRACT

A argument is described for how deformed or doubly special relativity may arise in the semiclassical limit of a quantum theory of gravity. We consider a generic quantum theory of gravity coupled to matter, from which we use only the assumption that a Hamiltonian constraint is imposed. We study circumstances in which Lambda, G and hbar all may be separately neglected, but there may arise terms in the ratio of particle energies to the Planck mass which are small but measurable. Such cases include probes of an energy dependent speed of light such as are possible in experiments such as MAGIC and GLAST. We show that in such cases the leading order effect of quantum gravity will, if certain scaling relations are satisfied, be to deform the metric in the effective Hamiltonian of the matter quantum field theory by terms linear in energies. As the Hamiltonian constraint has been imposed there can be no preferred time coordinate or frame of reference, hence this is a modification rather than a breaking of special relativity.

研究动机与目标

• 解释双特殊相对论（DSR）如何从量子引力理论在半经典极限下的涌现。
• 确定在 3+1 维中使 DSR 产生的最小物理假设，且不依赖于特定的量子引力形式体系。
• 在无引力条件下，基于物质场的总哈密顿量，解释时空几何的能量依赖形变的合理性。
• 基于量子引力的半经典极限，提出一个通用且非微扰的 DSR 论证，避免依赖于如环量子引力等具体模型。

提出的方法

• 假设一个具有固定宇宙学常数 $\Lambda$ 的量子引力理论，该常数作为红外调节器。
• 在保持 $M_{\text{Pl}} = \sqrt{\hbar/G}$ 固定的前提下，谨慎取 $\Lambda \to 0$ 的极限，以分离出低能量子引力效应。
• 在物质量子场论的希尔伯特空间上施加量子引力的哈密顿约束，使引力势能成为物质希尔伯特空间中的算符。
• 使用路径积分公式推导有效物质哈密顿量，表明度规对物质系统的能量密度呈线性依赖。
• 证明所得形变与 $M_{\text{Pl}}^{-1} \times E$ 成正比，其中 $E$ 为物质场的总哈密顿量。
• 表明当引力子场本身被视作物质场时，其亦在相同能量依赖的形变时空几何上传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 3+1 维中，形变的狭义相对论（DSR）在量子引力的半经典极限下于何种条件下会涌现？
• RQ2 当 $\hbar$ 和 $G$ 同时趋近于零时，庞加莱质量 $M_{\text{Pl}}$ 如何保持有限？其物理作用是什么？
• RQ3 能否在物质量子场论上一致地施加量子引力的哈密顿约束，以生成能量依赖的时空几何？
• RQ4 度规中的能量依赖性源于何处？尽管破坏了标准的庞加莱对称性，为何仍能保持洛伦兹不变性？
• RQ5 在此框架下，引力子本身如何响应物质场所诱导的形变时空几何？

主要发现

• 当 $\hbar$ 和 $G$ 很小时但其比值 $M_{\text{Pl}}$ 保持固定时，DSR 作为半经典极限下的主导效应自然涌现。
• 物质哈密顿量中的有效度规因 $M_{\text{Pl}}^{-1} \times E$ 的线性项而发生形变，其中 $E$ 为物质系统的总能量。
• 该形变保持洛伦兹不变性，且不引入优选参考系，因为哈密顿约束确保了无优选时间或坐标系。
• 宇宙学常数 $\Lambda$ 充当调节器，$\Lambda \to 0$ 的极限对 DSR 的涌现至关重要，且与 $\kappa$-庞加莱代数一致。
• 引力子（作为物质场处理）亦在相同能量依赖的时空几何上传播，表明该形变具有自洽性。
• 该推导具有普遍性，不依赖于如环量子引力等具体量子引力框架，仅基于基本原理：哈密顿约束、固定的 $M_{\text{Pl}}$ 及受调节的 $\Lambda$。