[论文解读] Counterexamples to Hochschild--Kostant--Rosenberg in characteristic $p$

Benjamin Antieau, Bhargav Bhatt+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文构造了在正特征 $p$ 下 Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 族谱序列非退化的显式反例，表明在完美域特征 $p$ 下，维数为 $2p$ 的光滑射影概形的 Hochschild 同调的 Hodge 分解不成立。通过分类叠 $B\mu_p$ 及其光滑射影概形的逼近，作者展示了即使在具有非平凡 Brauer 类的扭曲情形下，HKR、de Rham–HP 和 crystalline–TP 族谱序列中也存在非退化的微分。

ABSTRACT

We give counterexamples to the degeneration of the HKR spectral sequence in characteristic $p$, both in the untwisted and twisted settings. We also prove that the de Rham--$\mathrm{HP}$ and crystalline--$\mathrm{TP}$ spectral sequences need not degenerate.

研究动机与目标

• 研究在正特征 $p$ 的域上，光滑射影概形的 Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 族谱序列是否在 $E_2$ 页退化。
• 确定 Hochschild 同调的 Hodge 分解在正特征下是否成立，特别是对维数 $\geq p$ 的概形。
• 通过 Brauer 类将退化性的失败推广至扭曲 Hochschild 同调，并推广至 de Rham–HP 和 crystalline–TP 族谱序列。
• 利用分类叠和射影逼近，构造 HKR 族谱序列不退化的显式例子。
• 证明 Hodge 上同调可在正特征下区分 $\mathbb{P}^n$-丛，而此点在特征零下不成立。

提出的方法

• 以分类叠 $B\mu_p$ 为模型构造反例，利用其 Hochschild 同调集中在度数 0 而其 Hodge 上同调不集中的事实。
• 证明对于任意有限或几何上半单的概形态群 $G$ 在特征 $p$ 的完美域 $k$ 上，存在一个光滑射影 $k$-概形 $X$，其维数为 $d$，且存在映射到 $BG$，使得在度数 $s+t \leq d$ 上的上同调拉回映射是单射。
• 对由概形态群商得到的可能奇异的完全交，应用 Hodge 上同调的弱 Lefschetz 定理的一个版本。
• 通过 $H^0(X, \Omega^1_{X/k}) \to H^p(X, \wedge^p L_{X/k})$ 的非零性，构造光滑射影概形 $X$ 的显式例子，其维数为 $2p$，使得 HKR 族谱序列中的 $d_p$ 微分为非零。
• 在扭曲情形下，利用 Azumaya 代数和 Brauer 类 $\alpha$ 定义扭曲 Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(X/k,\alpha)$，并构造 $d_2^\alpha$ 微分为非零的例子。
• 分析 Enriques 曲面和三倍体上的 Severi–Brauer 算子及 $\mathbb{P}^n$-丛，利用 $\mathrm{dlog}$ 映射和 $\alpha$ 的非平凡性，证明 Hodge 上同调的拉回映射非单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征 $p>0$ 的域上，光滑射影概形的 HKR 族谱序列是否在 $E_2$ 页退化？
• RQ2 Hochschild 同调的 Hodge 分解在正特征下是否可能不成立，即使对于光滑射影概形？
• RQ3 de Rham–HP 和 crystalline–TP 族谱序列在特征 $p$ 下是否退化？
• RQ4 通过 Brauer 类的扭曲 Hochschild 同调是否可在正特征下表现出非退化的 HKR 族谱序列？
• RQ5 Hodge 上同调能否在正特征下区分非同构的 $\mathbb{P}^n$-丛，而此点在特征零下不成立？

主要发现

• 存在一个光滑射影的 $2p$-维概形 $X$，定义在特征 $p$ 的完美域上，使得 HKR 族谱序列中的 $d_p$ 微分为非零，因此该族谱序列不退化。
• 当 $p=2$ 时，经典 Enriques 曲面提供了光滑射影曲面的例子，其 $\alpha$-扭曲 HKR 族谱序列中 $d_2^\alpha$ 微分为非零。
• de Rham–HP 和 crystalline–TP 族谱序列在特征 $p$ 下未必退化，这由 $H^*(\mathrm{TP}(X))$ 上非分裂的滤子结构所表明。
• 在特征 $p>2$ 下，从光滑射影概形 $X$ 到 $\mathbb{P}^{p-1}$-丛 $P \to X$ 的 Hodge 上同调拉回映射可能非单射，表明 Hodge 上同调可区分 $\mathbb{P}^n$-丛。
• $\mathrm{dlog}$ 映射可检测上同调拉回的非单射性，例如当 $H^2(X, \Omega^1_X) \to H^2(P, \Omega^1_P)$ 为零时，是因为 $\alpha$ 在 $H^2(P, \mathbf{G}_m)$ 中被消去。
• 在特征 $p>0$ 下，$\mathbb{P}^n$-丛的 Hodge 上同调不总是基底上的自由模，而此点在特征零下成立，表明当 $p \mid n+1$ 时，正特征下 Leray–Hirsch 定理不成立。