[论文解读] Counting, Fanout, and the Complexity of Quantum ACC

Frederic Green, Steven Homer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了经典电路类的量子对应物，定义了常数深度、无界扇出的量子电路类 ${\sf{QAC}}^{0}$ 和 ${\sf{QACC}}[q]$。证明了扇出门允许在常数深度构造 ${\rm MOD}_q$ 门，表明对所有 $q > 1$ 有 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = {\/sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}$，展示了相对于经典 ${\sf{ACC}}[q]$ 类的严格量子优势。

ABSTRACT

We propose definitions of $\QAC^0$, the quantum analog of the classical class $\AC^0$ of constant-depth circuits with AND and OR gates of arbitrary fan-in, and $\QACC[q]$, the analog of the class $\ACC[q]$ where $\Mod_q$ gates are also allowed. We prove that parity or fanout allows us to construct quantum $\MOD_q$ gates in constant depth for any $q$, so $\QACC[2] = \QACC$. More generally, we show that for any $q,p > 1$, $\MOD_q$ is equivalent to $\MOD_p$ (up to constant depth). This implies that $\QAC^0$ with unbounded fanout gates, denoted $\QACwf^0$, is the same as $\QACC[q]$ and $\QACC$ for all $q$. Since $\ACC[p] e \ACC[q]$ whenever $p$ and $q$ are distinct primes, $\QACC[q]$ is strictly more powerful than its classical counterpart, as is $\QAC^0$ when fanout is allowed. This adds to the growing list of quantum complexity classes which are provably more powerful than their classical counterparts. We also develop techniques for proving upper bounds for $\QACC^0$ in terms of related language classes. We define classes of languages $\EQACC$, $\NQACC$ and $\BQACC_{ ats}$. We define a notion of $\log$-planar $\QACC$ operators and show the appropriately restricted versions of $\EQACC$ and $\NQACC$ are contained in $¶/\poly$. We also define a notion of $\log$-gate restricted $\QACC$ operators and show the appropriately restricted versions of $\EQACC$ and $\NQACC$ are contained in $\TC^0$.

研究动机与目标

• 定义并形式化经典电路类 ${\sf{AC}}^0$ 和 ${\sf{ACC}}[q]$ 的量子对应物，特别是 ${\sf{QAC}}^{0}$ 和 ${\sf{QACC}}[q]$。
• 研究具有扇出或 ${\rm MOD}_q$ 门的量子电路是否能比其经典对应物实现更强的计算能力。
• 通过限制电路结构，建立量子语言类 ${\sf{EQACC}}$、${\sf{NQACC}}$ 和 ${\sf{BQACC}}_{{\bf Q}}$ 的上界。
• 探索量子电路深度、扇出与计算模计数函数能力之间的关系。

提出的方法

• 将 ${\sf{QAC}}^{0}$ 定义为仅含单量子比特门、Toffoli 门且无扇出门的常数深度量子电路；将 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ 定义为包含扇出门的版本。
• 将 ${\sf{QACC}}[q]$ 定义为在 ${\sf{QAC}}^{0}$ 基础上扩展量子 ${\rm MOD}_q$ 门的类，且 ${\sf{QACC}} = \bigcup_q {\sf{QACC}}[q]$。
• 证明通过扇出门制备猫态的能力，可实现 $n$-位奇偶校验门的常数深度构造。
• 证明对任意 $q > 1$，${\rm MOD}_q$ 门在常数深度下等价于 ${\rm MOD}_p$ 门，从而推出 ${\sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}[p]$。
• 引入对数平面和对数门受限的 ${\sf{QACC}}$ 算子，以限制语言类的复杂度。
• 使用具有颜色一致路径的张量图表示来模拟振幅，并证明其包含于 ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$ 和 ${\sf{TC}}^0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 扇出门是否可在 ${\sf{QAC}}^{0}$ 中以常数深度实现，或者是否满足 ${\sf{QAC}}^{0} \subset {\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$？
• RQ2 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ 是否等于 ${\sf{QTC}}^{0}$，即量子阈值门是否可在常数深度构建？
• RQ3 量子语言类 ${\sf{EQACC}}$、${\sf{NQACC}}$ 和 ${\sf{BQACC}}_{{\bf Q}}$ 是否包含于 ${\sf{TC}}^0$ 或 ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$？
• RQ4 经典 ${\sf{ACC}}$ 证明技术（如 Valiant-Vazirani、Toda 多项式）能否被适配到量子设置？
• RQ5 固定深度量子电路（如深度-2 ${\sf{QACC}}$ 电路）的确切复杂度是什么？

主要发现

• 常数深度的扇出门可实现 $n$-位奇偶校验门的构造，这意味着 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ 可在常数深度计算任意 ${\rm MOD}_q$ 函数。
• 对任意 $q > 1$，有 ${\sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}$，即 $q$ 的选择不影响该类的计算能力。
• 对所有 $q > 1$，类 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ 等于 ${\sf{QACC}}[q]$，因此 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = {\sf{QACC}}$。
• 在对数平面限制下，语言类 ${\sf{EQACC}}_{\rm pl}^{\log}$ 和 ${\sf{NQACC}}_{\rm pl}^{\log}$ 包含于 ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$。
• 在对数门受限模型下，语言类 ${\sf{EQACC}}_{\rm gates}^{\log}$ 和 ${\sf{NQACC}}_{\rm gates}^{\log}$ 包含于 ${\sf{TC}}^0$。
• 在多项式时间均匀性假设下，$p$-均匀的 ${Σ}^{\rm NQACC}_{\rm pl}^{\log}$ 属于 ${\sf{P}}$，且 $p$-均匀的 ${Σ}^{\rm NQACC}_{\rm gates}^{\log}$ 属于 $p$-均匀的 ${\sf{TC}}^0$。