[论文解读] On the Complexity of Quantum ACC

F. Green, Steven Homer+1 more|ArXiv.org|Feb 21, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文通过证明对所有 q > 1，量子 MODq 门彼此等价，解决了量子复杂性理论中的一个开放问题，表明 QACC = QACC[q] 对任意 q ≥ 2 成立。它建立了一类在对数受限平面性或门数条件下的量子电路，分别包含于 P/poly 和 TC(0)，并利用张量图表示和量子傅里叶变换技术来界定电路复杂度。

ABSTRACT

For any $q > 1$, let $\MOD_q$ be a quantum gate that determines if the number of 1's in the input is divisible by $q$. We show that for any $q,t > 1$, $\MOD_q$ is equivalent to $\MOD_t$ (up to constant depth). Based on the case $q=2$, Moore \cite{moore99} has shown that quantum analogs of AC$^{(0)}$, ACC$[q]$, and ACC, denoted QAC$^{(0)}_{wf}$, QACC$[2]$, QACC respectively, define the same class of operators, leaving $q > 2$ as an open question. Our result resolves this question, proving that QAC$^{(0)}_{wf} =$ QACC$[q] = $ QACC for all $q$. We also develop techniques for proving upper bounds for QACC in terms of related language classes. We define classes of languages EQACC, NQACC and BQACC$_{ ats}$. We define a notion $\log$-planar QACC operators and show the appropriately restricted versions of EQACC and NQACC are contained in P/poly. We also define a notion of $\log$-gate restricted QACC operators and show the appropriately restricted versions of EQACC and NQACC are contained in TC$^{(0)}$. To do this last proof, we show that TC$^{(0)}$ can perform iterated addition and multiplication in certain field extensions. We also introduce the notion of a polynomial-size tensor graph and show that families of such graphs can encode the amplitudes resulting from apply an arbitrary QACC operator to an initial state.

研究动机与目标

• 为解决 Moore 对 q=2 的早期结果后遗留的开放问题，即 QACC[q] 是否对所有 q > 2 都等于 QACC。
• 开发用于证明由量子电路族定义的语言类的上界的技术，特别是 EQACC、NQACC 和 BQACC。
• 刻画在平面性和门数约束下受限 QACC 电路的计算能力。
• 表明 QACC 算子的振幅可通过多项式大小的张量图进行编码与计算，从而实现复杂度分析。

提出的方法

• 引入多项式大小的张量图模型，以编码任意 QACC 算子作用于输入态时的振幅。
• 使用带有复数 q 次单位根的量子傅里叶变换，模拟 MODq 门并建立不同 q 下门之间的等价性。
• 基于 QACC酉演化后观测到目标态的期望值，定义语言类 EQACC、NQACC 和 BQACC。
• 应用对数颜色深度分解，将振幅表示为张量图中路径之和，从而支持电路构造。
• 表明在平面性约束下（对数平面 QACC），振幅可通过多项式大小电路在 P/poly 中计算。
• 表明在门数约束下（对数门 QACC），振幅可通过模拟域扩张中的迭代加法与乘法，在 TC(0) 中计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 QACC[q] 是否对所有 q > 2 都等于 QACC，从而解决 Moore 对 q=2 的结果所遗留的开放问题？
• RQ2 当 QACC 受限于对数平面或对数门配置时，其计算能力是否可被界定？
• RQ3 语言类 EQACC、NQACC 和 BQACC 是否包含于 P/poly 或 TC(0) 等经典复杂度类中？
• RQ4 是否能通过具有有界深度和颜色一致性的张量图，高效表示并计算 QACC 电路中的量子振幅？
• RQ5 量子傅里叶变换在实现量子电路中不同 MODq 门之间等价性方面起什么作用？

主要发现

• 本文证明，对任意 q, t > 1，MODq 与 MODt 在常数深度内等价，解决了 QACC[q] = QACC 对所有 q ≥ 2 是否成立的开放问题。
• 它建立了 QAC(0)_wf = QACC[q] = QACC 对所有 q ≥ 2 成立，表明在量子设置下，奇偶性门并不比任何其他 MODq 门更强大。
• 在平面性约束下，NQACC_pl^log 属于 P/poly；在门数约束下，NQACC_gates^log 属于 TC(0)。
• EQACC_pl^log 属于 P/poly，EQACC_gates^log 属于 TC(0)，BQACC_Q 有类似结果。
• 本文表明，QACC 电路中的振幅可表示为具有对数颜色深度的多项式大小张量图，从而支持高效电路构造。
• 它证明 TC(0) 可计算域扩张中的迭代加法与乘法，这对于在 TC(0) 中模拟受限 QACC 电路至关重要。