[论文解读] Counting hyperbolic multi-geodesics with respect to the lengths of individual components

Francisco Arana–Herrera|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文建立了在有限面积双曲曲面上计数双曲多测地线的渐近多项式增长速率，追踪每个分量的长度而非仅总长度。在 Mirzakhani 工作和 Margulis 技术的基础上，证明了对于简单或填充分量的多曲线，当每个分量长度 ≤ b_iL 时，此类测地线的数量随 L 呈 (6g−6+2n) 次多项式增长，其首项系数通过在实测测地线利玛林上的 Thurston 测度给出。

ABSTRACT

Given a connected, oriented, complete, finite area hyperbolic surface $X$ of genus $g$ with $n$ punctures, Mirzakhani showed that the number of multi-geodesics on $X$ of total hyperbolic length $\leq L$ in the mapping class group orbit of a given simple or filling closed multi-curve is asymptotic as $L o \infty$ to a polynomial in $L$ of degree $6g-6+2n$. We establish asymptotics of the same kind for countings of multi-geodesics in mapping class group orbits of simple or filling closed multi-curves that keep track of the hyperbolic lengths of individual components, proving and generalizing a conjecture of Wolpert. In the simple case we consider more precise countings that also keep track of the class of the multi-geodesics in the space of projective measured geodesic laminations. We provide a unified geometric and topological description of the leading terms of the asymptotics of all the countings considered. Our proofs combine techniques and results from several papers of Mirzakhani as well as ideas introduced by Margulis in his thesis.

研究动机与目标

• 将 Mirzakhani 对多测地线的渐近计数结果扩展至追踪每个分量长度而非仅总长度的情形。
• 严格证明 Wolpert 关于简单或填充分闭多曲线在长度约束下的渐近多项式增长行为的猜想。
• 为简单与填充两种情形的渐近展开中的首项提供统一的几何与拓扑描述。
• 在简单情形下，将多测地线类在射影实测测地线利玛林空间中的追踪纳入考量。

提出的方法

• 采用统一框架，结合 Mirzakhani 的映射类群轨道技术与 Margulis 在其论文中提出的平均化与展开方法。
• 应用模空间上扩张的horoball类比的等分布结果，将简单情形约化为通过 Thurston 测度计算体积。
• 在 Teichmüller 空间上定义一族渐近分段线性、恰当且有界的函数，基于分量长度约束。
• 利用 Weil-Petersson 测度及其缩放，将计数函数与实测测地线利玛林空间中集合的体积联系起来。
• 利用实测利玛林的射影类，将首项系数解释为由交数定义的有界集的 Thurston 测度。
• 应用 Portmanteau 定理与缩放后 Weil-Petersson 测度的弱-* 收敛性，研究子水平集的 Weil-Petersson 体积。

实验结果

研究问题

• RQ1 当多测地线的每个分量长度受向量 b_iL 约束而非仅总长度时，其在映射类群轨道中的计数是否呈多项式增长？
• RQ2 Wolpert 关于简单多测地线在个体长度边界下渐近多项式增长的猜想能否被严格证明？
• RQ3 渐近展开中的首项系数能否从曲面、多曲线与长度边界的角度，以几何与拓扑方式表征？
• RQ4 是否存在对简单与填充多测地线情形下首项的统一描述？
• RQ5 计数是否可进一步细化，以追踪多测地线在射影实测测地线利玛林空间中的射影类？

主要发现

• 对于简单或填充分量的多测地线，其分量长度 ≤ b_iL 的计数函数 c(X, γ, b, L) 关于 L 的渐近行为为 (6g−6+2n) 次多项式。
• 首项系数 c(X, γ, b) 是一个依赖于 X 的几何结构、γ 的拓扑类型以及向量 b 的正实数。
• 在简单情形下，首项系数由与每个 γ_i 的交数 ≤ b_i 的实测利玛林集合的 Thurston 测度给出。
• 在填充情形下，首项系数通过涉及与 γ 各分量交数的类似测度公式表达。
• 通过 Weil-Petersson 测度及其缩放的统一框架，两种情形的渐近行为得以统一。
• 该结果通过引入分量长度约束，推广了 Mirzakhani 的总长度计数结果，确认了 Wolpert 的猜想。