[论文解读] Effective mapping class group dynamics II: Geometric intersection numbers

Francisco Arana–Herrera|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文建立了映射类群在Teichmüller空间上的作用与闭曲线的几何交点数在测地线电流上的作用之间的有效对应关系。通过结合二次微分的平坦几何、直线流的动力学以及Teichmüller动力系统，证明了对于除一个数量上很小的映射类集合外的所有映射类，交点数的变化在幂次误差项范围内由该映射类在Teichmüller空间中对某一点的拉伸程度决定。

ABSTRACT

We show that the action of the mapping class group on the space of closed curves of a closed surface effectively tracks the corresponding action on Teichmüller space in the following sense: for all but quantitatively few mapping classes, the information of how a mapping class moves a given point of Teichmüller space determines, up to a power saving error term, how it changes the geometric intersection numbers of a given closed curve with respect to arbitrary geodesic currents. Applications include an effective estimate describing the speed of convergence of Teichmüller geodesic rays to the boundary at infinity of Teichmüller space, an effective estimate comparing the Teichmüller and Thurston metrics along mapping class group orbits of Teichmüller space, and, in the sequel, effective estimates for countings of filling closed geodesics on closed, negatively curved surfaces.

研究动机与目标

• 建立映射类群在Teichmüller空间上的作用与闭曲线几何交点数作用之间的有效联系。
• 为映射类群改变任意测地线电流交点数的方式提供带有幂次误差项的定量估计。
• 通过Teichmüller空间上的有效动力系统，实现对负曲率曲面上填满闭测地线的有效计数。
• 利用新的几何交点数框架，对Mirzakhani、Erlandsson-Souto和Rafi-Souto的渐近结果进行有效化处理。
• 证明Teichmüller测地线射线向无穷远边界收敛的有效收敛速率，并在映射类群轨道上实现Teichmüller度量与Thurston度量的有效比较。

提出的方法

• 将估计几何交点数的问题简化为研究二次微分中长水平线段的等分布率。
• 应用Teichmüller测地线流的重整化动力学，分析平坦曲面上直线流的等分布性。
• 利用 genus-g 曲面上单位面积全纯二次微分的平坦几何，通过水平叶状结构建模曲线交点。
• 使用轨道轨和Dehn-Thurston坐标，证明几何交点数在这些参数空间中为Lipschitz连续。
• 应用定量递归估计与误差控制技术，将偏离等分布的程度控制在幂次误差项范围内。
• 结合[Ara20]中的前期工作，实现Teichmüller几何与Thurston几何中计数问题的有效化处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射类群在Teichmüller空间上的作用如何决定与任意测地线电流的几何交点数的变化？
• RQ2 能否利用映射类群在Teichmüller空间上的动力系统，有效估计交点数变化并达到幂次误差项？
• RQ3 Teichmüller测地线射线以何种有效速率收敛至Teichmüller空间的无穷远边界？
• RQ4 如何在映射类群轨道上实现Teichmüller度量与Thurston度量的有效比较？
• RQ5 利用该框架，能否对闭负曲率曲面上填满闭测地线的计数问题导出有效估计？

主要发现

• 对于除一个数量上很小的映射类集合外的所有映射类，与任意测地线电流的几何交点数的变化，在幂次误差项范围内由该映射类在Teichmüller空间中对某一点的作用决定。
• 本文提供了Masur关于Teichmüller测地线射线收敛至无穷远边界定理的有效版本，并给出了收敛速率的有效估计。
• 在映射类群轨道上建立了Teichmüller度量与Thurston度量的有效比较，并给出了定量误差界。
• 该框架实现了对闭负曲率曲面上填满闭测地线的有效计数，对Mirzakhani、Erlandsson-Souto和Rafi-Souto的渐近结果进行了有效化处理。
• 证明了几何交点数在轨道轨和Dehn-Thurston坐标中均为Lipschitz连续，且Lipschitz常数在测地线电流的紧子集上一致。
• 主结果在后续工作[Ara21]中被应用，推导出在Thurston度量下映射类群轨道计数的幂次误差项，解决了Wright [Wri20]提出的一个开放问题。