[论文解读] Counting multiple graphs in generalized Turán problems

Dániel Gerbner|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文引入了一个广义的图兰问题，用于在F-自由图中同时计数多个子图，提出了无色和有色两种变体。研究证明，在三角形自由图中，图兰图T₂(n)使特定子图（如匹配、环和路径）的总数达到最大，从而建立了广义图兰问题和Berge超图问题的极值结果。

ABSTRACT

We are given graphs $H_1,\dots,H_k$ and $F$. Consider an $F$-free graph $G$ on $n$ vertices. What is the largest sum of the number of copies of $H_i$? The case $k=1$ has attracted a lot of attention. We also consider a colored variant, where the edges of $G$ are colored with $k$ colors. What is the largest sum of the number of copies of $H_i$ in color $i$? Our motivation to study this colored variant is a recent result stating that the Turán number of the $r$-uniform Berge-$F$ hypergraphs is at most the quantity defined above for $k=2$, $H_1=K_r$ and $H_2=K_2$. In addition to studying these new questions, we obtain new results for generalized Turán problems and also for Berge hypergraphs.

研究动机与目标

• 通过在F-自由图中同时计数多个子图H₁,…,Hₖ，而非仅一个，来扩展广义图兰问题。
• 引入一种有色变体，其中边被染色，子图计数按颜色聚合，其动机源于与Berge超图的联系。
• 确定图兰图T_{r}(n)在F-自由图中何时使一族子图的总复制数达到最大。
• 在三角形自由图中，为特定子图（如匹配、C₅、P₅、K₂,₃和C₄′）建立极值结果。
• 证明在无三角形的条件下，图兰图T₂(n)对某些图族的子图计数总和达到最大。

提出的方法

• 将无色极值函数ex(n, (H₁,…,Hₖ), F)定义为所有F-自由n阶图G中子图计数总和∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G)的最大值。
• 引入有色变体ex^col(n, (H₁,…,Hₖ), F)，其中边被染色，计数按颜色聚合，Gᵢ表示颜色i的边构成的子图。
• 使用双重计数和极值图论技术，特别是通过Brouwer定理对非二分图和二分图中的边集进行有界。
• 应用基于度数的计数论证：对度数为d的顶点v，通过在其余n−1或n−2个顶点上选择边和顶点，来界定包含v的子图复制数。
• 将任意F-自由图G中的计数与图兰图T₂(n)中的计数进行比较，通过逐顶点极值论证表明G中的计数至多等于T₂(n)中的计数。
• 利用已知结果，如Brouwer对非二分图中边数的界定以及三角形自由图中的度数约束，以改进上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三角形自由图中，图兰图T₂(n)何时使多个子图H₁,…,Hₖ的总复制数达到最大？
• RQ2 广义图兰问题的有色变体与Berge超图有何关系，特别是在k=2、H₁=K_r、H₂=K₂的情况下？
• RQ3 在三角形自由图中，子图C₅、M（5个顶点的匹配）、M′（含三角形的5个顶点匹配）、P₅和K₂,₃的极值计数是否可由T₂(n)实现？
• RQ4 在渐近增长和极值图方面，广义图兰问题的无色与有色变体之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，单个子图Hᵢ的极值图也使F-自由图中∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G)的总和达到最大？

主要发现

• 对于图族T = {M, M′, C₄′, P₅, K₂,₃, C₅}，图兰图T₂(n)在所有三角形自由n阶图中使总复制数达到最大，即ex(n, T, K₃) = 𝒩(T; T₂(n))。
• 在任意三角形自由图G中，M和C₅的复制数至多等于T₂(n)中的数量，该结论通过逐顶点计数并结合度数和边界的比较得到证明。
• 在任意三角形自由图G中，M′和C₅的复制数也至多等于T₂(n)中的数量，其证明依赖于剩余图非二分图或最小度较低时的精细界。
• 有色变体ex^col(n, (H₁,…,Hₖ), F)的取值介于ex(n, Hᵢ, F)与∑ᵢ ex(n, Hᵢ, F)之间，且两种变体均为Θ(maxᵢ ex(n, Hᵢ, F))。
• 当每个Hᵢ为团或完全多部图时，F-自由图中∑ᵢ 𝒩(Hᵢ, G)的极值图是一个完全(ℓ−1)-部图，推广了单个子图的已知结果。
• 该结果可推广至每个子图Hᵢ在三角形自由图中均由T₂(n)实现最大化的子图族，意味着总和也由T₂(n)实现最大化。