[论文解读] Counting Phylogenetic Networks with Few Reticulation Vertices: Exact Enumeration and Corrections

Michael Fuchs, Bernhard Gittenberger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文修正了先前在树形子代与正常系统发育网络中针对少量网状顶点的渐近计数方法中的重复计数错误。通过使用修正后的指数生成函数，推导出具有 k=1,2,3 个网状顶点的此类网络的确切封闭公式，解决了早期计算结果中的差异，并通过组合验证确认了正确计数。

ABSTRACT

In previous work, we gave asymptotic counting results for the number of tree-child and normal networks with $k$ reticulation vertices and explicit exponential generating functions of the counting sequences for $k=1,2,3$. The purpose of this note is two-fold. First, we make some corrections to our previous approach which overcounted the above numbers and thus gives erroneous exponential generating functions (however, the overcounting does not effect our asymptotic counting results). Secondly, we use our (corrected) exponential generating functions to derive explicit formulas for the number of tree-child and normal networks with $k=1,2,3$ reticulation vertices. This re-derives recent results of Carona and Zhang, answers their question for normal networks with $k=2$, and adds new formulas in the case $k=3$.

研究动机与目标

• 修正先前对具有少量网状顶点的树形子代与正常网络进行渐近计数时存在的重复计数错误。
• 推导出具有 k=1,2,3 个网状顶点的叶标号树形子代与正常网络数量的确切显式公式。
• 通过与组合约束和计算溢出问题对比，解决先前报告计数中的差异，特别是针对 k=3 的情况。
• 利用修正后的生成函数重新推导并简化 Carona 和 Zhang（2023）的近期公式。
• 通过检查推导系数的合理性以及与已知数值的一致性，验证新公式的正确性。

提出的方法

• 推导出具有 k 个网状顶点的顶点标号树形子代与正常网络的修正指数生成函数，纠正了早期生成函数构建中的重复计数错误。
• 对两种网络类型均采用形式 $ N_k(z) = z \frac{\tilde{a}_k^{[N]}(z^2) - \tilde{b}_k^{[N]}(z^2)\sqrt{1-2z^2}}{(1-2z^2)^{2k-1/2}} $，其中 $ \tilde{a}_k^{[N]} $ 和 $ \tilde{b}_k^{[N]} $ 为修正后的多项式。
• 通过生成函数操作进行系数提取：$ N_{k,2n+1} = (2n+1)! \left( 2^{-n} \binom{2n}{n} \tilde{r}_k^{[N]}(n) - 2^n \tilde{p}_k^{[N]}(n) \right) $，其中 $ \tilde{r}_k^{[N]}(n) $ 为有理函数，$ \tilde{p}_k^{[N]}(n) $ 为多项式。
• 通过 $ \tilde{N}_{k,\ell} = \frac{\ell!}{(2\ell + 2k - 1)!} N_{k,2\ell + 2k - 1} $ 实现从顶点标号计数到叶标号计数的转换。
• 通过验证推导系数的分母为 2 的幂，确认结果与先前计算工作中出现的溢出错误一致，从而验证正确性。
• 使用符号计算与组合约束，避免在构造过程中出现环或近似环，确保仅统计有效正常网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 在纠正先前重复计数后，具有 k=3 个网状顶点的正常网络的正确指数生成函数是什么？
• RQ2 如何为 k=1,2,3 的叶标号树形子代与正常网络推导出显式封闭公式？
• RQ3 为何早期计算结果中 $ \tilde{N}_{3,\ell} $ 的值错误？如何通过验证确认其正确性？
• RQ4 修正后的公式能否简化或确认 Carona 和 Zhang（2023）的近期结果？
• RQ5 哪些组合约束可确保仅统计有效正常网络（无环或近似环）？

主要发现

• 具有 k=3 个网状顶点的正常网络的修正指数生成函数为 $ N_3(z) = z \left( \frac{877z^{12} - 3065z^{10} + 2392z^8 - 628z^6 + 64z^4}{(1-2z^2)^{11/2}} - \frac{110z^{12} - 1455z^{10} + 1860z^8 - 564z^6 + 64z^4}{(1-2z^2)^5} \right) $。
• 具有 3 个网状顶点和 $ 2n+1 $ 个总顶点的顶点标号正常网络数量为 $ N_{3,2n+1} = (2n+1)! \left( \frac{n(n-1)(n^4 + 15n^3 - 158n^2 + 324n + 40)}{3(2n-1)2^n} \binom{2n}{n} - \frac{2^n}{192}(144n^4 - 751n^3 - 1089n^2 + 9106n - 7080) \right) $。
• 具有 3 个网状顶点和 $ \ell $ 个叶的叶标号正常网络数量为 $ \tilde{N}_{3,\ell} = \ell! \left( \frac{(\
• 序列 $ \tilde{N}_{3,\ell} $ 对于 $ \ell \geq 5 $ 的前几项为 1920、184680、11059650、547444800，确认了修正后的数值，并与 Zhang（2011）报告的错误值 11038530 和 536524830 相矛盾。
• Zhang 的数值错误源于 C++ 程序中的溢出，而修正后的数值通过要求 $ \tilde{N}_{3,\ell}/\ell! $ 的分母为 2 的幂得到验证，该条件在修正公式中成立。