[论文解读] Counting Reducible Matrices, Polynomials, and Surface and Free Group Automorphisms

Igor Rivin|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2006

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文利用代数几何与概率方法，建立了 ℤ 和 𝔽_p 上可约多项式及特征多项式可约的矩阵数量的上界。通过分析其在同调上的作用，并应用消去理论与Weil估计，证明了曲面的映射类群中的随机元素几乎必然为伪阿诺索夫（pseudo-Anosov）或自由群的随机自同构几乎必然为强不可约（strongly irreducible）。

ABSTRACT

We give upper bounds on the numbers of various classes of polynomials reducible over the integers and over integers modulo a prime and on the number of matrices in SL(n), GL(n) and Sp(2n) with reducible characteristic polynomials, and on polynomials with non-generic Galois groups. We use our result to show that a random (in the appropriate sense) element of the mapping class group of a closed surface is pseudo-Anosov, and that a random automorphism of a free group is strongly irreducible (aka irreducible with irreducible powers). We also give a necessary condition for all powers of an algebraic integers to be of the same degree, and give a simple proof (in the Appendix) that the distribution of cycle structures modulo a prime p for polynomials with a restricted coefficient is the same as that for general polynomials.

研究动机与目标

• 确定 ℤ 和有限域上可约多项式及特征多项式可约的矩阵的渐近密度。
• 研究闭曲面映射类群中随机元素为伪阿诺索夫的概率。
• 分析随机矩阵与多项式的伽罗瓦群分布，特别是证明 S_d 出现的概率趋近于 1。
• 证明自由群的随机自同构几乎必然为强不可约（即不可约且其所有幂次亦不可约）。
• 建立受限系数多项式在模 p 下的循环结构分布与无限制多项式一致。

提出的方法

• 使用消去理论证明具有固定次数因式的多项式集合位于仿射超曲面上，从而实现增长速率的估计。
• 应用 Lang-Weil 定理控制代数簇上的 𝔽_p 点数，得出 m 维代数簇的点数为 O(p^m) 的增长。
• 运用 Weil 对绝对不可约曲线的 𝔽_p 点数的估计，控制函数方程的解数。
• 结合 van der Waerden 的筛法与 Dirichlet 在等差数列中素数存在的定理，证明当系数界较大时，伽罗瓦群 S_d 占主导地位。
• 利用仿射变换在多项式上的作用，使轨道上分裂类型分布相等，条件是 x^{d-1} 的系数非零。
• 利用定理 30（关于 X^n - a 的不可约性）与引理 31（关于线性代换下的置换约束），排除例外情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系数有界于 B 的情况下，ℤ 上首一多项式中可约多项式的渐近密度是多少？
• RQ2 当系数高度增加时，SL(n, ℤ) 中具有可约特征多项式的矩阵数量如何增长？
• RQ3 闭曲面映射类群中随机元素为伪阿诺索夫的概率是多少？
• RQ4 受限系数随机多项式的伽罗瓦群分布如何？是否收敛于 S_d？
• RQ5 自由群的随机自同构是否几乎必然为强不可约（即不可约且其所有幂次亦不可约）？

主要发现

• ℤ 上系数有界于 B 的 d 次首一可约多项式数量的增长速率至多为 O(B^{d-1})，表明可约多项式是稀疏的。
• 当 p 为大素数时，常数项为 1 的多项式在模 p 下的循环结构分布与所有 d 次多项式一致，前提是 d < p。
• GL(N, ℤ) 中随机矩阵的伽罗瓦群几乎必然为全对称群 S_N，且当系数界 N → ∞ 时，该概率趋近于 1。
• GL(N, ℤ) 中随机矩阵的所有幂次的伽罗瓦群也以概率趋近于 1 为 S_N。
• 当字长增加时，闭曲面（亏格为 g）的映射类群中随机元素为伪阿诺索夫的概率趋近于 1。
• 自由群的随机自同构为强不可约（即不可约且其所有幂次亦不可约）的概率趋近于 1。