[论文解读] Counting the occurrences of generalized patterns in words generated by a morphism

Sergey Kitaev, Toufik Mansour|ArXiv.org|Oct 11, 2002

semigroups and automata theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出一种方法，用于计算在morphic序列的有限近似中广义排列模式（如1-2、2-1、123和1-1-...-1）的出现次数。通过基于morphism的迭代构造（例如，1→123，2→13，3→2），作者推导出模式计数的精确公式，例如第n次迭代中1-2模式的出现次数为$3 \cdot 4^{n-1} + 2^n$。其主要贡献是建立了一个系统性的框架，通过结构分解和递推关系，实现对morphic词中模式出现次数的计数。

ABSTRACT

We count the number of occurrences of certain patterns in given words. We choose these words to be the set of all finite approximations of a sequence generated by a morphism with certain restrictions. The patterns in our considerations are either classical patterns 1-2, 2-1, 1-1-...-1, or arbitrary generalized patterns without internal dashes, in which repetitions of letters are allowed. In particular, we find the number of occurrences of the patterns 1-2, 2-1, 12, 21, 123 and 1-1-...-1 in the words obtained by iterations of the morphism 1->123, 2->13, 3->2, which is a classical example of a morphism generating a nonrepetitive sequence.

研究动机与目标

• 开发一种方法，用于计算morphic序列有限近似中广义排列模式的出现次数。
• 将经典模式计数方法扩展至包含无内部连字符且含重复字母的广义模式。
• 为特定morphic序列（如由1→123、2→13、3→2生成的非重复序列）提供模式计数的精确闭式公式。
• 建立可排除外部模式出现的条件，从而通过结构分解实现递归计数。

提出的方法

• 作者定义有限字母表上的morphism，并通过固定点的迭代生成词，重点关注有限近似$\phi^n(1)$。
• 他们引入模式$\tau$在子词$X_i$和$X_j$之间的外部出现概念，这些子词是morphism像中的子串。
• 对于无内部连字符的模式，他们推导出递推关系：$N^\tau_\phi(n) = (d + \ell)^{n-2} \sum_{i=1}^k s_i$（$n \geq 2$），其中$s_i$表示在$X_i$中内部出现的计数，$d, \ell$为morphism结构中的参数。
• 他们基于每个子词在迭代像中出现的次数，结合二项式系数选择模式位置，运用组合论证。
• 该方法依赖于验证跨子词对的外部模式出现不存在，以确保递推关系成立。
• 他们通过示例验证该方法，包括morphism $\phi_w: 1\to123, 2\to13, 3\to2$，并推导出12、123和21等模式的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算morphic序列有限近似中广义模式的出现次数？
• RQ2 在何种条件下，morphic词中的模式出现次数可通过递推关系计数？
• RQ3 对于生成非重复序列的经典morphism（1→123，2→13，3→2），第n次迭代中1-2模式的精确出现次数是多少？
• RQ4 即使外部出现使计数复杂化，该方法是否仍可应用于123或21等模式？
• RQ5 子词结构和morphism参数（如$d$、$\ell$）在决定模式出现次数增长速率方面起什么作用？

主要发现

• 在morphism $\phi_w$的第n次迭代中，1-2模式的出现次数为$3 \cdot 4^{n-1} + 2^n$。
• 对于模式12（即上升），在$\phi_w^n(1)$中的出现次数为$3 \cdot 2^{n-2}$（$n \geq 2$），$n=1$时为2次。
• 在$\phi_w^n(1)$中，123模式的出现次数为$2^{n-2}$（$n \geq 2$），$n=1$时为零。
• 在$\phi_w^n(1)$中，21模式（即下降）的出现次数为$3 \cdot 2^{n-2} - 1$，由总长度减去上升次数再减去1推导得出。
• 对于模式$1\mbox{-}1\mbox{-}1\mbox{-}1$，在$\phi_w^n(1)$中的出现次数为$3 \cdot \binom{2^{n-1}}{4}$（$n \geq 3$），$n=1,2$时为零。
• 当外部出现不存在时，该方法适用于无内部连字符的广义模式，并基于morphism像中各部分内部模式计数的总和，生成递推关系。