[论文解读] Covariant formulation of Generalised Uncertainty Principle

Raghvendra Singh, Dawood Kothawala|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过在测地凸时空邻域内利用法坐标定义位置与动量算符，提出了广义不确定性原理（GUP）的协变形式，引入基于四维洛巴切夫斯基空间扩展的动量空间几何。关键结果是位置算符的非对易性 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] \neq 0$ 自然地源于弯曲动量空间中 $p^2 = \text{const}$ 曲面的外曲率，且 GUP 修正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ 完全由该几何决定。

ABSTRACT

We present a formulation of the generalised uncertainty principle based on commutator $\left[ {\hat x}^i, {\hat p}_j ight]$ between position and momentum operators defined in a covariant manner using normal coordinates. We show how any such commutator can acquire corrections if the momentum space is curved. The correction is completely determined by the extrinsic curvature of the surface $p^2=$ constant in the momentum space, and results in non-commutativity of normal position coordinates $\left[ {\hat x}^i, {\hat x}^j ight] eq 0$. We then provide a construction for the momentum space geometry as a suitable four dimensional extension of a geometry conformal to the three dimensional relativistic velocity space - the Lobachevsky space - whose curvature is determined by the dispersion relation $F(p^2)=-m^2$, with $F(x)=x$ yielding the standard Heisenberg algebra.

研究动机与目标

• 在弯曲时空背景下发展海森堡代数的显式协变形式，克服标准对易关系定义中一般协变性的破坏。
• 通过源自相对论速度空间的四维动量空间结构，几何地解释 GUP 修正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ 的来源。
• 表明位置算符的非对易性 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] \neq 0$ 源于动量空间中 $p^2 = \text{const}$ 超曲面的外曲率。
• 建立一个一致且洛伦兹不变的 GUP 框架，通过动量空间的几何构造整合修改的色散关系 $F(p^2) = -m^2$。

提出的方法

• 通过从时空点 $\mathcal{P}_0$ 出发的指数映射定义法坐标，确保其对时空曲率的协变依赖。
• 构建一个与相对论速度空间上洛巴切夫斯基度量共形的四维动量空间度量，其曲率由色散关系 $F(p^2) = -m^2$ 决定。
• 扩展动量空间几何，以确保当相对速度为零时，其退化为 $ (\Delta m)^2 = (m_2 - m_1)^2 $。
• 将 GUP 修正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ 表示为动量空间中 $p^2 = \text{const}$ 曲面的外曲率 $K^{\textsf{a}}{}_{\textsf{b}}$ 的函数。
• 应用雅可比恒等式推导非零对易子 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j]$，表明其依赖于 $\Theta^{-1}$ 及其导数。
• 利用度量行列式与联络系数，推导位置算符 $\hat{x}^a_{\text{sym}}$ 的对称动量空间表示，以保持幺正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不显式依赖坐标图的情况下，以显式协变方式将海森堡代数推广到弯曲时空？
• RQ2 在相对论性、弯曲动量空间中，GUP 修正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ 的几何起源是什么？
• RQ3 位置算符的非对易性 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] \neq 0$ 如何从动量空间几何中自然涌现？
• RQ4 动量空间中 $p^2 = \text{const}$ 曲面的外曲率在决定 GUP 结构中起什么作用？
• RQ5 如何在弯曲动量空间中构造位置算符的一致且对称的动量空间表示？

主要发现

• GUP 修正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ 完全由动量空间中 $p^2 = \text{const}$ 超曲面的外曲率决定，为该修正提供了几何起源。
• 对于标准色散关系 $F(p^2) = -m^2$，动量空间是平直的（黎曼张量为零），且 $\Theta^i{}_j = \delta^i_j$，从而恢复标准海森堡代数。
• 当色散关系推广为 $F(p^2) = -m^2$ 且 $F \neq \text{id}$ 时，动量空间曲率变为非零，导致非平凡的 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ 和非交换位置算符。
• 对易子 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j]$ 被推导为 $i\hbar \{ \hat{x}^l, (\Theta^{-1})^m{}_l \Theta_n^{[a]} \Theta_m^{b],n} \}$，明确显示出对逆度量和 $\Theta$ 的导数的依赖。
• 位置算符的动量空间表示被构造为 $\hat{x}^a_{\text{sym}} = i\hbar \left( \frac{1}{2} \Theta^{m a} \Gamma^i{}_{m i} + \frac{1}{2} \Theta_m^{a, m} + \Theta_m^a \partial^m \right)$，确保在测度 $d^4\textsf{p} \sqrt{-g}$ 下的对称性。
• 该形式化由于在位置空间和动量空间中均依赖于一个基点，因此具有非局域性；动量空间中的原点选择与从时空点出发的测地线流相关，因此具有位置依赖性。