[论文解读] Covariant Model Structures and Simplicial Localization

Danny Stevenson|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 14

一句话总结

本文建立了两个新的 Quillen 等价关系，将关于 simplicial set $B$ 上的 simplicial set 的 covariant model 结构，与在单体范畴 $\Delta/B$ 上的 simplicial presheaves 的局部化 projective model 结构，以及在 simplicial category $C[B]$ 上的 simplicial presheaves 的局部化 projective model 结构联系起来。通过使用 simplicial localization 将问题约化到范畴的 nerve，本文给出了 Lurie 的 straightening 定理的新证明，并证明当 $B$ 是一个范畴的 nerve 时，straightening 函数是 Quillen 等价关系。

ABSTRACT

In this paper we prove that for any simplicial set $B$, there is a Quillen equivalence between the covariant model structure on $\mathbf{S}/B$ and a certain localization of the projective model structure on the category of simplicial presheaves on the simplex category $Δ/B$ of $B$. We extend this result to give a new Quillen equivalence between this covariant model structure and the projective model structure on the category of simplicial presheaves on the simplicial category $\mathfrak{C}[B]$. We study the relationship with Lurie's straightening theorem. Along the way we prove some results on localizations of simplicial categories and quasi-categories.

研究动机与目标

• . 建立 $S/B$ 上的 covariant model 结构与 $[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上 projective model 结构的局部化之间的 Quillen 等价关系。
• . 将此等价关系扩展到 simplicial category $C[B]$ 上的 simplicial presheaves 的 projective model 结构，从而提供一个新的 Quillen 等价关系。
• . 通过使用 simplicial localization 技术将问题约化到 $B$ 是一个范畴的 nerve 的情形，重新证明 Lurie 的 straightening 定理。
• . 阐明 straightening 函数与 simplicial category 和 quasi-category 的局部化之间的关系。
• . 证明当 $B = N(C)$ 对于一个小范畴 $C$ 时，straightening 函数是 Quillen 等价关系，通过同伦范畴之间的自然同构。

提出的方法

• . 利用 Dugger 关于 simplicial presheaves 上 projective model 结构的普遍性质，构造 $[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 与 $S/B$ 之间的 Quillen 伴随关系。
• . 对 $[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上的 projective model 结构关于宽子范畴 $W \subset \Delta/B$（即初始顶点映射）进行局部化，得到 $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$。
• . 证明左 Kan 扩展函数 $\mathrm{Re}$ 与奇异函数 $\mathrm{Sing}$ 构成 $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 与 $S/B$ 上的 covariant model 结构之间的 Quillen 等价关系。
• . 构造 Yoneda 嵌入 $y/B: \Delta/B \to S/B$ 的 simplicial 代替 $s(y/B)$，并定义一个共变函子 $s_!: S/B \to [(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$。
• . 证明伴随对 $(s_!, s^*)$ 构成 $S/B$（covariant model 结构）与 $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$（局部化 projective model 结构）之间的 Quillen 等价关系。
• . 利用最后顶点映射 $p_B: N(\Delta/B) \to B$ 及其诱导的函子 $C[p]: C[N(\Delta/B)] \to C[B]$，建立模型结构之间的联系，并将 straightening 定理约化到范畴的 nerve 情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 . $S/B$ 上的 covariant model 结构与 $[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上 projective model 结构的局部化之间是否存在 Quillen 等价关系？
• RQ2 . 能否通过 simplicial localization 技术将问题约化到 $B$ 是范畴的 nerve 的情形，从而重新证明 straightening 定理？
• RQ3 . 在 Lurie 的框架下，quasi-category 的 simplicial 局化与 straightening 函子之间存在何种关系？
• RQ4 . 当配备局部化 projective model 结构时，函子 $s_!: S/B \to [(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 是否诱导出 Quillen 等价关系？
• RQ5 . 当 $B = N(C)$ 对于一个小范畴 $C$ 时，straightening 函子 $\mathrm{St}_B$ 是否为 Quillen 等价关系？

主要发现

• . Quillen 伴随关系 $(\mathrm{Re}, \mathrm{Sing})$ 降为 $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$ 上的局部化 projective model 结构与 $S/B$ 上的 covariant model 结构之间的 Quillen 等价关系，从而证明了定理 1.1。
• . 伴随对 $(s_!, s^*)$ 构成 $S/B$（covariant model 结构）与 $L_W[(\Delta/B)^{\mathrm{op}}, S]$（局部化 projective model 结构）之间的 Quillen 等价关系，从而证明了定理 1.2。
• . 当 $C$ 是一个小范畴时，straightening 函子 $\mathrm{St}_{N(C)}: S/N(C) \to [C[N(C)], S]$ 是 Quillen 等价关系，从而证明了命题 6.3。
• . 诱导的左 Quillen 函子 $p_!: L_S S/N(\Delta/B) \to S/B$ 是 Quillen 等价关系，这将一般 straightening 定理约化到范畴的 nerve 情形。
• . 复合函子 $\mathrm{St}_B \circ \phi_!$ 在同伦范畴上自然同构于恒等函子，表明其为 Quillen 等价关系。
• . 从 $\mathrm{St}_{NC}(NC_c/)(-) \to C[NC](c, -)$ 的典范映射 $f$ 是 projective 弱等价，且与 DK-等价 $\psi: C[NC] \to C$ 复合后，在同伦范畴中诱导出自然同构。