[论文解读] Covariant Quantum Error Correcting Codes via Reference Frames

Yuxiang Yang, Yin Mo+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用 15

一句话总结

本文通过利用量子参考系，提出了一类在局部 SU(d) 对称性下近似协变的量子纠错码，实现了对擦除错误的高效纠正。在稀疏擦除下，误差标度为 $1/n^2$；在密集擦除下，误差标度为 $1/n$，两者均为最优，通过近似对称协变性绕过了 Eastin-Knill 定理。

ABSTRACT

Error correcting codes with a universal set of transversal gates are the desiderata of realising quantum computing. Such codes, however, are ruled out by the Eastin-Knill theorem. Moreover, it also rules out codes which are covariant with respect to the action of transversal unitary operations forming continuous symmetries. In this work, starting from an arbitrary code, we construct approximate codes which are covariant with respect to local $SU(d)$ symmetries using quantum reference frames. We show that our codes are capable of efficiently correcting different types of erasure errors. When only a small fraction of the $n$ qudits upon which the code is built are erased, our covariant code has an error that scales as $1/n^2$, which is reminiscent of the Heisenberg limit of quantum metrology. When every qudit has a chance of being erased, our covariant code has an error that scales as $1/n$. We show that the error scaling is optimal in both cases. Our approach has implications for fault-tolerant quantum computing, reference frame error correction, and the AdS-CFT duality.

研究动机与目标

• 为克服 Eastin-Knill 定理，该定理禁止存在具有可逆通用门和连续对称协变性的精确量子纠错码。
• 通过量子参考系，构建在局部 SU(d) 对称性下近似协变的近似量子纠错码。
• 以容错方式高效纠正稀疏和密集擦除错误。
• 在不同擦除模式下展示最优的误差标度行为，与量子精密测量的极限一致。

提出的方法

• 从任意量子码出发，利用量子参考系构造近似码，以诱导局部 SU(d) 对称性下的协变性。
• 采用对称编码方案，其中逻辑操作通过变换码空间协变的参考系实现。
• 应用微扰分析量化近似引入的误差，确保其随系统尺寸 $n$ 的增长有利地缩放。
• 推导两种擦除模式下的误差界：当仅有少量量子位被擦除时，以及当所有量子位均具有非零擦除概率时。
• 通过与量子精密测量和纠错理论中的已知界限比较，证明误差标度在两种情形下均为最优。
• 通过协变码的结构，建立与容错量子计算和 AdS-CFT 对应关系的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出在局部 SU(d) 对称性下协变的近似量子纠错码，从而绕过 Eastin-Knill 定理？
• RQ2 在量子位稀疏擦除下，此类协变码可实现的最优误差标度为何？
• RQ3 当所有量子位的擦除概率均匀分布时，误差标度如何变化？
• RQ4 所提出的码能否实现与量子精密测量的海森堡极限一致的误差标度？
• RQ5 这些码对容错量子计算和 AdS-CFT 对偶性有何影响？

主要发现

• 所构建的协变码在仅有少量 $n$ 个量子位被擦除时，实现 $1/n^2$ 的误差标度，与量子精密测量的海森堡极限一致。
• 在所有量子位具有均匀擦除概率时，误差标度为 $1/n$，在给定约束下为最优。
• 在两种情形下均证明了误差标度的最优性，表明该码在相应近似水平下实现了最佳性能。
• 利用量子参考系实现了近似对称协变性，有效绕过了 Eastin-Knill 定理，且无需精确的可逆门。
• 该码在纠正不同类型擦除错误方面表现出高效性，在现实噪声模型下展现出鲁棒性。
• 该框架对容错量子计算具有直接意义，并为 AdS-CFT 对偶性背景下量子码结构提供了新视角。