[论文解读] Cover and Conquer: Augmenting Decompositions for Connectivity Problems.

Arash Haddadan, Alantha Newman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过利用均匀覆盖小割的环覆盖，为点权、子立方及3边连通图上的连通性问题（如TSP和2EC）提出了改进的近似算法。在3边连通、立方、点权图上，该方法实现了TSP的7/5-近似和2EC的13/10-近似，同时证明了处处18/19的向量是巡回路指示向量的凸组合。

ABSTRACT

We explore and introduce tools to design algorithms with improved approximation guarantees for edge connectivity problems such as the traveling salesman problem (TSP) and the 2-edge-connected spanning multigraph problem (2EC) on (restricted classes of) weighted graphs. In particular, we investigate decompositions of graphs that cover small-cardinality cuts an even number of times. Such decompositions allow us to design approximation algorithms that consist of augmenting an initial subgraph (e.g. cycle cover or spanning tree) with a cheap addition to form a feasible solution. Boyd, Iwata and Takazawa recently presented an algorithm to find a cycle cover that covers all 3- and 4-edge cuts in a bridgeless, cubic graph with applications to 2EC on 3-edge-connected, cubic graphs [BIT 2013]. We present several applications of their algorithm to connectivity problems on node-weighted graphs, which has been suggested as an intermediate step between graph and general metrics. Specifically, on 3-edge-connected, cubic, node-weighted graphs, we present a $\frac{7}{5}$-approximation algorithm for TSP and a $\frac{13}{10}$-approximation algorithm for 2EC. Moreover, we use a cycle cover that covers all 3- and 4-edge cuts to show that the everywhere $\frac{18}{19}$ vector is a convex combination of incidence vectors of tours, answering a question of Seb{\H{o}}. Extending this approach to input graphs that are 2-edge connected necessitates finding methods for covering 2-edge cuts. We therefore present a procedure to decompose an optimal solution for the subtour linear program into spanning, connected subgraphs that cover each 2-edge cut an even number of times. We use this decomposition to design a simple $\frac{4}{3}$-approximation algorithm for the 2-edge connected problem on subcubic, node-weighted graphs.

研究动机与目标

• 为受限类加权图上的边连通性问题（如TSP和2EC）设计更优的近似算法。
• 将Boyd、Iwata和Takazawa的环覆盖方法扩展至点权图，该类图作为图与一般度量之间的中间模型。
• 通过将最优子环LP解分解为均匀覆盖此类割的子图，解决2边连通图中覆盖2边割的挑战。
• 证明处处18/19的向量是巡回路指示向量的凸组合，从而解决Sebő提出的问题。

提出的方法

• 使用覆盖所有3边和4边割偶数次的环覆盖，构造TSP和2EC的可行解。
• 将环覆盖技术应用于3边连通、立方、点权图，以获得改进的近似比。
• 引入一种分解过程，将最优子环LP解划分为覆盖每个2边割偶数次的生成连通子图。
• 利用此分解设计出子立方、点权图上2EC的4/3-近似算法。
• 利用环覆盖框架，证明处处18/19的向量是巡回路指示向量的凸组合。
• 将初始子图（如环覆盖或生成树）与低成本补充边结合，形成可行且近似最优的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用均匀覆盖小割的环覆盖来改进点权图上TSP和2EC的近似保证？
• RQ2 在3边连通、立方、点权图上，使用此类环覆盖时，TSP和2EC的最佳可达近似比是多少？
• RQ3 当标准环覆盖失效时，如何有效处理2边连通图问题中的2边割？
• RQ4 处处18/19的向量能否表示为巡回路指示向量的凸组合？这对TSP近似有何含义？

主要发现

• 在3边连通、立方、点权图上，通过使用均匀覆盖所有3边和4边割的环覆盖，实现了TSP的7/5-近似算法。
• 在相同类别的图上，为2EC问题开发了13/10-近似算法。
• 本文证明了处处18/19的向量是巡回路指示向量的凸组合，从而回答了Sebő提出的问题。
• 通过将最优子环LP解分解为均匀覆盖2边割的子图，设计出子立方、点权图上2EC的4/3-近似算法。
• 该分解方法使2边割在2边连通图中的处理成为可能，扩展了以往仅适用于3边连通图的方法。
• 该框架表明，小割的均匀覆盖是连通性问题设计中的关键原则。