[论文解读] Coxeter groups and Kähler groups

Pierre Py|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文研究了凯勒群到考克斯eter群的同态，证明在至少二维的共 compact 复双曲格子无法嵌入到考克斯eter群或右角自由阿贝尔群中。关键结果表明，此类格子必须具有有限指数子群，这些子群通过阿贝尔群与曲面群轨道的乘积进行分解，从而限制了它们在这些群类中的嵌入性质。

ABSTRACT

We study homomorphisms from Kähler groups to Coxeter groups. As an application, we prove that a cocompact complex hyperbolic lattice (in complex dimension at least 2) does not embedd into a Coxeter group or a right-angled Artin group. This is in contrast with the case of real hyperbolic lattices.

研究动机与目标

• 理解从凯勒群到考克斯eter群的同态结构。
• 确定共 compact 复双曲格子是否可以嵌入到考克斯eter群或右角自由阿贝尔群中。
• 建立凯勒群中允许此类嵌入的有限指数子群的限制条件。
• 应用群论中关于曲面群与自由阿贝尔群直积子群的结果，以限制可能的嵌入。

提出的方法

• 使用紧致凯勒流形的有限覆盖来分析同态到考克斯eter群的结构。
• 将问题简化为分析到双曲2-轨道的纤维化及其基本群。
• 应用布里德森、豪伊、米勒和肖特关于曲面群与自由阿贝尔群直积子群的结果。
• 利用忠实同态通过阿贝尔化和双曲2-轨道的轨道基本群分解的事实。
• 利用右角自由阿贝尔群嵌入右角考克斯eter群的性质，将结果推广到 RAAG。
• 应用佐里基稠密性论证和单李群中正规子群交集性质作为替代证明技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复维度至少为2的共 compact 复双曲格子能否嵌入到考克斯eter群中？
• RQ2 当凯勒群存在同态映射到考克斯eter群时，会引发何种结构约束？
• RQ3 在何种条件下，凯勒群可与考克斯eter群或右角自由阿贝尔群共轭？
• RQ4 与凯勒群共轭的考克斯eter群的无限不可约非欧几里得因子是否必然具有曲面群或阿贝尔群的有限指数子群？
• RQ5 凯勒群嵌入到曲面群与阿贝尔群直积中的情况，是否可被限制到单个因子？

主要发现

• 任何映射到考克斯eter群的凯勒群的有限指数子群，均通过其阿贝尔化与有限个双曲2-轨道的轨道基本群的乘积进行分解。
• 在复维度 ≥2 的共 compact 复双曲格子无法嵌入到任何考克斯eter群中，即不存在忠实同态。
• 与凯勒群共轭的右角自由阿贝尔群必须是几乎阿贝尔的，因此其本身即为阿贝尔群。
• 与凯勒群共轭的考克斯eter群的任何无限不可约非欧几里得因子，必须具有与曲面群同构的有限指数子群。
• 凯勒群不能同构于非阿贝尔自由群与阿贝尔群的直积，从而排除了其嵌入到此类乘积中的可能性。
• 通过右角自由阿贝尔群嵌入右角考克斯eter群的性质，该结果可推广至 RAAG，表明此类群不能包含共 compact 复双曲格子。