[论文解读] Every Coxeter group acts amenably on a compact space

Alexander Dranishnikov, Tadeusz Januszkiewicz|ArXiv.org|Nov 30, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 67

一句话总结

该论文通过证明所有考克斯eter群具有性质A，并利用其等距嵌入到配备l₁-范数的有限棵树的乘积中，证明了每个考克斯eter群在紧致空间上作用于一个可约的群作用。关键结果是所有考克斯eter群均为希格森-罗伊可约的，这意味着它们可粗等距嵌入到希尔伯特空间。

ABSTRACT

Coxeter groups admit amenable actions on compact spaces. Moreover, they have finite asymptotic dimension.

研究动机与目标

• 建立每个考克斯eter群在紧致空间上具有拓扑可约作用。
• 通过验证其具有性质A，证明所有考克斯eter群满足希格森-罗伊可约性。
• 证明任意考克斯eter群在字度量下的底空间具有性质A。
• 通过其嵌入到树的乘积中，证明任意考克斯eter群的渐近维数是有限的。

提出的方法

• 为考克斯eter群Γ构造戴维斯复形C(Γ)，其在Γ下具有适当的等距作用。
• 利用一个无扭的正规子群Γ₀◁Γ，定义一个Γ₀-等变映射μ: C(Γ) → ∏Th，映射到树的乘积中。
• 将每棵树Th定义为Γ₀-轨道的镜像（反射的不动点集）的补集的对偶图，从而证明每棵树Th均为树。
• 证明映射μ是Γ-等变的嵌入，且在树的乘积上配备l₁-范数时，其与Γ上的字度量一致。
• 利用树具有性质A，且具有性质A的空间的有限乘积和子集也具有性质A这一事实。
• 应用对有限生成群而言，希格森-罗伊可约性与性质A等价这一结论，从而得出作用的可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个考克斯eter群是否在紧致空间上具有拓扑可约作用？
• RQ2 能否证明考克斯eter群的字度量空间具有性质A？
• RQ3 考克斯eter群的渐近维数是否有限？
• RQ4 考克斯eter群能否等距嵌入到配备l₁-范数的有限棵树的乘积中？
• RQ5 此类嵌入的存在是否意味着希格森-罗伊可约性？

主要发现

• 每个考克斯eter群Γ均可等变等距嵌入到配备l₁-范数的有限棵树的乘积中。
• 该嵌入下Γ的像恰好位于树的乘积的顶点集合中。
• 树的乘积上的l₁-范数与Γ上的字度量一致，从而在群元素上保持等距性。
• 由于树具有性质A，且性质A在有限乘积和子集下保持不变，因此乘积空间也具有性质A。
• 因此，Γ的底度量空间具有性质A，这意味着Γ是希格森-罗伊可约的。
• 由于考克斯eter群可等距嵌入到有限棵树的乘积中，而每棵树的渐近维数至多为1，且渐近维数在乘积下具有次可加性，因此任意考克斯eter群的渐近维数是有限的。