[论文解读] Coxeter-like groups for groups of set-theoretic solutions of the Yang--Baxter equation

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|May 16, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文为每个有限、对合、非退化的集合解杨–巴克斯特定理引入了一个有限群 W，称之为考克斯eter型群。它表明 W 作为结构群 M 的嘉尔赛德胚，其凯莱图同构于 M 中嘉尔赛德元素 Δ 的因子格。关键结果是一个短正合列 1 → ℤⁿ → G → W → 1，其中 W 的阶为 pⁿ，提供了一个有限商群，其结构与嘉尔赛德格的组合性质相匹配。

ABSTRACT

We attach with every finite, involutive, nondegenerate set-theoretic solution of the Yang--Baxter equation a finite group that plays for the associated structure group the role that a finite Coxeter group plays for the associated Artin--Tits group.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：每个嘉尔赛德群是否都存在一个有限商群（即‘考克斯eter型群’）W，使其作为单群 M 的嘉尔赛德胚，且 W 关于 M 的原子的凯莱图同构于某个嘉尔赛德元素 Δ 的因子格。
• 为杨–巴克斯特定理的有限、对合、非退化集合解所生成的结构群提供肯定答案。
• 为这类解定义一个阶为 pⁿ 的有限群 W，其中 p 为解的类，证明其控制群的嘉尔赛德结构。
• 证明嘉尔赛德胚 (W, X) 的凯莱图（关于生成集 X）同构于结构幺半群 M 中嘉尔赛德元素 Δ 的因子的哈斯图。

提出的方法

• 通过恒等式 Π_{p+1}(x,…,x,y) = y 定义有限 RC-拟群的类 p，其中 Π_n 为递归定义的乘积。
• 利用右循环律和 I-结构，将 ℤⁿ 上的结果推广至任意结构幺半群。
• 在自由幺半群 X* 上构造等价关系 ≡，使得 g ≡ h 当且仅当它们在 ℤⁿ 中的像模 p 同余。
• 将 W 定义为商群 G/≡，其由在原始群表示中添加关系 x^{[p]} = 1 而继承表示。
• 证明投影 G → W 的核同构于 ℤⁿ，由 x ∈ X 的元素 x^{[p]} 生成。
• 通过商映射 ν 证明：M 中 Δ 的因子的哈斯图同构于嘉尔赛德胚 (W, X) 的凯莱图。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个嘉尔赛德群是否都存在一个有限商群 W，使得 W 作为单群 M 的嘉尔赛德胚，且 W 关于 M 的原子的凯莱图同构于某个嘉尔赛德元素 Δ 的因子格？
• RQ2 一个有限、对合、非退化的杨–巴克斯特定理集合解是否可与一个阶为 pⁿ 的有限群 W 关联，该群控制其结构群的嘉尔赛德结构？
• RQ3 嘉尔赛德胚 (W, X) 的凯莱图是否同构于结构幺半群 M 中嘉尔赛德元素 Δ 的因子的哈斯图？
• RQ4 嘉尔赛德元素 Δ 如何与解的类 p 相关联？它在正合列 1 → ℤⁿ → G → W → 1 中起什么作用？

主要发现

• 对于每个类为 p 的有限、对合、非退化的杨–巴克斯特定理集合解，其关联的结构群 G 都存在一个嘉尔赛德元素 Δ，其因子格恰好有 pⁿ 个元素。
• 有限群 W = G/≡ 的阶为 pⁿ，并嵌入于短正合列 1 → ℤⁿ → G → W → 1 中，其中 ℤⁿ 为由 x ∈ X 的 x^{[p]} 生成的核。
• 嘉尔赛德胚 (W, X) 的凯莱图（限制于长度相加乘积）同构于结构幺半群 M 中 Δ 的因子的哈斯图。
• 通过在原始群表示中添加关系 x^{[p]} = 1，可得到 W 的表示，其中 x^{[p]} 是以 x 开头的长度为 p 的字。
• 嘉尔赛德元素 Δ 作为 ν 映射下 ℕⁿ 中元素 δ = (p, p, ..., p) 的像被实现，且 Δ 恰好有 pⁿ 个因子。
• 在类为 3、含三个生成元 a, b, c 且满足 f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a 的例子中，群 W 有 27 个元素，其凯莱图为三维立方体，与 Δ 的因子格完全匹配。