[论文解读] Crack initiation in elastic bodies

Antonin Chambolle, Alessandro Giacomini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文证明，在由Griffith型能量控制的超弹性体中，当材料缺乏强奇异性（如在均匀各向同性材料中）时，裂纹萌生是剧烈的——即在某个正时间之后突然形成显著裂纹。相反，在强奇异性点处，裂纹在时间零时立即以零速度萌生。该结果适用于所有具有有限多个分量的闭合一维裂纹，基于包含体能和表面能项的自由间断能泛函的局部极小化原理。

ABSTRACT

In this paper we study the crack initiation in a hyper-elastic body governed by a Griffith's type energy. We prove that, during a load process through a time dependent boundary datum of the type $t o t g(x)$ and in absence of strong singularities (this is the case of homogeneous isotropic materials) the crack initiation is brutal, i.e., a big crack appears after a positive time $t_i>0$. On the contrary, in presence of a point $x$ of strong singularity, a crack will depart from $x$ at the initial time of loading and with zero velocity. We prove these facts (largely expected by the experts of material science) for admissible cracks belonging to the large class of closed one dimensional sets with a finite number of connected components. The main tool we employ to address the problem is a local minimality result for the functional $$ \Es(u,Γ):=\int_\Om f(x, abla v) dx+k\hu(Γ), $$ where $Ω\subseteq \R^2$, $k>0$ and $f$ is a suitable Carathéodory function. We prove that if the uncracked configuration $u$ of $\Om$ relative to a boundary displacement $ψ$ has uniformly weak singularities, then configurations $(u_Γ,Γ)$ with $\hu(Γ)$ small enough are such that $\Es(u,\emptyset)

研究动机与目标

• 通过变分框架严格分析在时变载荷下弹性体中的裂纹萌生问题。
• 解决长期存在的裂纹萌生是渐进还是突然发生的问题，特别是在不存在初始预裂纹的情况下。
• 证明经典Griffith准则在无预裂纹时无法预测裂纹萌生。
• 证明当奇异性较弱（如在均匀各向同性材料中）时，裂纹萌生是突然的（即发生在某个正时间之后）。
• 将Francfort-Marigo变分模型扩展至包含一般可接受裂纹类中的剧烈裂纹萌生。

提出的方法

• 形式化能量泛函 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) = \int_\Omega f(x,\nabla u)\,dx + k\mathcal{H}^1(\Gamma) $，结合裂纹 $ \Gamma $ 的体弹性能和表面能。
• 利用 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ 的局部极小化结果，证明当奇异性较弱时，小裂纹会增加总能量。
• 在高度函数一致有界且Lipschitz连续的区域上应用统一的Poincaré和Poincaré-Korn不等式。
• 反证法：假设小裂纹可降低能量，通过弱收敛和 $ H^1 $ 紧致性导出矛盾。
• 通过多个方向（包括非竖直方向）的线积分控制位移梯度的所有分量。
• 利用可接受裂纹类的紧致性（闭合集且具有有限多个分量）导出一致估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无预裂纹且承受时变载荷时，裂纹萌生是渐进发生还是突然发生？
• RQ2 当初始无裂纹时，经典Griffith准则能否预测裂纹萌生？
• RQ3 材料奇异性（尤其是强奇异性与弱奇异性）在裂纹萌生的时间和性质中起什么作用？
• RQ4 Francfort-Marigo变分模型是否能在不预先假设裂纹路径的情况下捕捉剧烈裂纹萌生？
• RQ5 在何种条件下，能量泛函 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ 在小裂纹下于无裂纹构型处实现局部极小化？

主要发现

• 在均匀各向同性材料中，裂纹萌生是剧烈的：在某个正时间 $ t_i > 0 $ 之后突然出现显著裂纹，而非渐进发生。
• 对于弱奇异性（如均匀材料），能量泛函 $ \mathcal{E}(u,\Gamma) $ 对所有具有有限分量的小裂纹在无裂纹状态下实现极小化。
• 相反，在强奇异性点处，裂纹在 $ t = 0 $ 时立即以零速度萌生。
• 该结果适用于所有具有有限多个连通分量的闭合一维集合 $ \Gamma $，无需假设光滑性或预设路径。
• 证明依赖于在高度函数一致有界且Lipschitz连续的一族区域上的一致Poincaré和Poincaré-Korn不等式。
• 证明了经典Griffith准则在 $ l_0 = 0 $ 时所隐含的能量降低为零，从而否定了其在萌生预测中的适用性。