[论文解读] Crandall-Lions Viscosity Solutions for Path-Dependent PDEs: The Case of Heat Equation

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 70被引用 5

一句话总结

本文在Crandall-Lions的框架下，为路径依赖型PDE建立了粘性解理论，聚焦于路径依赖型热方程。在一般条件下，通过泛函Itô公式证明了解的存在性，并利用一种新颖的光滑测度函数与Ekeland原理的变体，证明了解的唯一性，将经典粘性理论扩展至路径依赖情形，引入了水平/垂直导数。

ABSTRACT

We address our interest to the development of a theory of viscosity solutions {à} la Crandall-Lions for path-dependent partial differential equations (PDEs), namely PDEs in the space of continuous paths C([0, T ]; R^d). Path-dependent PDEs can play a central role in the study of certain classes of optimal control problems, as for instance optimal control problems with delay. Typically, they do not admit a smooth solution satisfying the corresponding HJB equation in a classical sense, it is therefore natural to search for a weaker notion of solution. While other notions of generalized solution have been proposed in the literature, the extension of the Crandall-Lions framework to the path-dependent setting is still an open problem. The question of uniqueness of the solutions, which is the more delicate issue, will be based on early ideas from the theory of viscosity solutions and a suitable variant of Ekeland's variational principle. This latter is based on the construction of a smooth gauge-type function, where smooth is meant in the horizontal/vertical (rather than Fr{é}chet) sense. In order to make the presentation more readable, we address the path-dependent heat equation, which in particular simplifies the smoothing of its natural "candidate" solution. Finally, concerning the existence part, we provide a new proof of the functional It{ô} formula under general assumptions, extending earlier results in the literature.

研究动机与目标

• 开发一种仿照Crandall-Lions风格的路径依赖型PDE粘性解框架，该问题长期悬而未决。
• 解决在具有时滞的最优控制中出现的路径依赖型PDE缺乏经典解的问题。
• 通过在水平/垂直意义下引入光滑测度函数，利用Ekeland变分原理的变体，建立路径依赖型PDE粘性解的唯一性。
• 在一般假设下，利用泛函Itô公式证明粘性解的存在性。
• 通过聚焦于路径依赖型热方程作为典型情形，简化分析。

提出的方法

• 使用水平导数与垂直导数（记为∂tH与∂xxV）在连续路径空间C([0,T];ℝd)中定义PDE。
• 在一般条件下应用泛函Itô公式，以建立粘性解的存在性。
• 引入一种在水平/垂直意义下的光滑测度型函数，以支持Ekeland变分原理在唯一性证明中的应用。
• 采用专为路径依赖情形设计的Ekeland原理变体，利用路径导数的有限维性质。
• 通过时间平均路径投影与基函数构造C([0,T];ℝd)中的紧集K̃，以保证一致连续性。
• 依赖Cantor对角论证法与系数收敛性，证明像集的相对紧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Crandall-Lions粘性解理论扩展至连续路径空间中的路径依赖型PDE？
• RQ2 当经典光滑性不成立时，如何为路径依赖型PDE的粘性解建立唯一性？
• RQ3 水平导数与垂直导数在定义与求解路径依赖型PDE中起什么作用？
• RQ4 能否在一般假设下推导出泛函Itô公式，以支持解的存在性？
• RQ5 如何利用光滑测度函数，将Ekeland变分原理适配至路径依赖情形？

主要发现

• 本文在Crandall-Lions框架下，为路径依赖型PDE建立了粘性解理论，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 通过新颖地应用Ekeland变分原理与水平/垂直意义下的光滑测度函数，证明了粘性解的唯一性。
• 在一般假设下，利用泛函Itô公式证明了粘性解的存在性，扩展了早期结果。
• 路径依赖型热方程存在粘性解，该解通过布朗运动与时间偏移的初值路径满足Feynman-Kac表示。
• 该解在C([0,T];ℝd)的紧子集上具有一致连续性，其基础为路径投影下像集的相对紧性。
• 紧集K̃的构造确保了终值条件ξ的一致连续性，这对唯一性论证至关重要。