[论文解读] Pathwise Viscosity Solutions of Stochastic PDEs and Forward Path-Dependent PDEs --- A Rough Path View

Rainer Buckdahn, Christian Keller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 12

一句话总结

本文通过将完全非线性随机PDE和前向路径相关PDE统一视为粗糙PDE（RPDE），提出了一套统一的粘性解框架。它建立了测试函数定义与次微分定义之间的等价性，证明了相容性、稳定性及部分比较原理，并通过特征变换方法，为半线性扩散情形建立了完整的理论体系。

ABSTRACT

In this paper we study viscosity solutions for a fairly large class of fully nonlinear (forward) stochastic partial differential equations (SPDEs). These SPDEs can also be viewed as forward path dependent PDEs (PPDEs), and will be treated under a unified framework, as rough partial differential equations (RPDEs). Our definition of viscosity solution gathers the spirit of existing ones using test functions along the stochastic characteristics, determined by a system of first order RDEs. We show that such a definition is equivalent to the alternative one using semi-jets, and prove the basic properties such as consistency, stability, and partial comparison principle for general fully nonlinear SPDEs/PPDEs/RPDEs under natural conditions. Furthermore, when the diffusion coefficient is semi-linear, we shall establish a fairly complete theory, including (global) existence and comparison principle, by transforming the RPDE into a standard PDE via characteristics.

研究动机与目标

• 为一大类完全非线性前向随机PDE（SPDE）和路径相关PDE（PPDE）发展一致的粘性解理论。
• 在粗糙PDE（RPDE）框架下统一处理SPDE和PPDE，实现统一的分析方法。
• 建立两种现有粘性解定义之间的等价性——即基于沿随机特征的测试函数定义与基于次微分的定义。
• 在自然系数条件下，证明基本性质如相容性、稳定性及部分比较原理。
• 在扩散系数为半线性时，实现SPDE/PPDE/RPDE的完整存在性与比较理论。

提出的方法

• 基于由一阶粗糙微分方程（RDE）控制的随机特征线上定义粘性解。
• 建立基于测试函数的定义与经典的基于次微分的粘性解定义之间的等价性。
• 在温和的正则性与有界性条件下，证明一般完全非线性SPDE/PPDE/RPDE的相容性、稳定性及部分比较原理。
• 对于半线性扩散系数，利用特征法将RPDE转化为标准PDE。
• 借助变换后的PDE，推导出半线性情形下的全局存在性与完整比较原理。
• 利用粗糙路径理论处理底层随机过程的不规则性，确保解框架的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过粗糙路径技术，为完全非线性SPDE和PPDE建立统一的粘性解理论？
• RQ2 基于沿随机特征的测试函数的粘性解定义是否与次微分定义等价？
• RQ3 对于一般完全非线性SPDE/PPDE/RPDE，相容性与稳定性等基本性质是否成立？
• RQ4 能否为具有半线性扩散系数的SPDE建立完整的存在性与比较理论？
• RQ5 通过特征变换，粗糙PDE的解在多大程度上可简化为标准PDE？

主要发现

• 基于沿随机特征的测试函数的粘性解定义，与次微分定义在一般完全非线性SPDE/PPDE/RPDE中等价。
• 所提出的粘性解框架在系数的自然条件下满足相容性与稳定性。
• 对于一般完全非线性SPDE/PPDE/RPDE，建立了部分比较原理，确保在适当约束下解的唯一性。
• 在半线性扩散系数情形下，可通过特征变换将RPDE转化为标准PDE，从而实现解的全局存在性。
• 在半线性情形下，获得了完整的比较原理，意味着粘性解的唯一性与稳定性。
• 该理论通过将SPDE与PPDE嵌入粗糙PDE框架，提供了一套稳健且统一的分析方法。