[论文解读] CREATION OF HOMOCLINIC TANGENCIES IN HAMILTONIANS BY THE SUSPENSION OF POINCAR ´ E SECTIONS

Ario Bessa, Ao Lopes Dias|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文证明，对于辛4-流形上的任意哈密顿量以及流形中的任意点p，存在一个C²-扰动，使得通过p的正则能量面要么是Anosov的，要么包含一个同宿切触。该构造依赖于从庞加莱截面悬停辛同胚，将已知的关于同宿切触的结果推广至哈密顿系统。

ABSTRACT

In this note we show that for any Hamiltonian defined on a symplectic 4-manifold M and any point p 2 M, there exists a C 2 -close Hamiltonian whose regular energy surface through p is either Anosov or it contains a homoclinic tangency. Our result is based on a general construction of Hamiltonian suspensions for given symplectomorphisms on Poincare sections already known to yield similar properties.

研究动机与目标

• 在辛4-流形上的哈密顿系统进行C²-扰动时，建立同宿切触存在的证明。
• 将哈密顿悬停构造扩展至正则能量面表现出非一致双曲性或切触的系统。
• 证明对于相空间中任意给定点p，通过小的C²-扰动，可使通过p的能量面成为Anosov的或包含同宿切触。
• 利用庞加莱截面技术，将微分同胚中已知的同宿切触结果推广至哈密顿设置。

提出的方法

• 作者使用从庞加莱截面上定义的辛同胚构造哈密顿量的悬停方法。
• 他们应用已知技术，从辛同胚生成哈密顿流，以确保所得系统与原系统保持C²-接近。
• 该方法依赖于这样一个事实：庞加莱截面上的辛同胚可被悬停，以在完整的4-流形上产生哈密顿流。
• 通过选择具有特定动力学特征（如同宿切触）的辛同胚，所得的哈密顿系统在能量面上继承这些特征。
• 该构造保持了辛结构，并确保通过p的能量面是良好定义且正则的。
• 关键思想是：庞加莱回传映射在截面上的动力学直接影响悬停哈密顿的全局动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过原系统的微小C²-扰动在哈密顿系统中构造出同宿切触？
• RQ2 在何种条件下，可使哈密顿系统中正则能量面成为Anosov的或包含同宿切触？
• RQ3 如何利用庞加莱截面上辛同胚的悬停来生成具有期望动力学特征的哈密顿系统？
• RQ4 是否可能确保在辛4-流形中任意点p处，通过小的C²-扰动后，通过p的能量面表现出同宿切触？

主要发现

• 对于辛4-流形上的任意哈密顿量以及任意点p，存在一个与原系统C²-接近的哈密顿量，其通过p的正则能量面要么是Anosov的，要么包含同宿切触。
• 此类哈密顿量的构造依赖于从已表现出同宿切触或Anosov行为的庞加莱截面上的辛同胚进行悬停。
• 该方法确保扰动与原系统保持C²-接近，同时改变能量面的动力学结构。
• 该结果将微分同胚中已知的同宿切触结果推广至哈密顿设置。
• 通过p的能量面保持正则，确保扰动不会破坏该水平集的光滑结构。
• 悬停技术成功地将庞加莱截面上的局部动力学特征传递至全局哈密顿流。