[论文解读] Critical Percolation on Random Networks with Prescribed Degrees

Souvik Dhara|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 115被引用 3

一句话总结

本文建立了具有指定度序列的随机网络中临界渗流簇的标度极限，通过证明全局下质量界性质，在Gromov-Hausdorff-Prokhorov（GHP）拓扑下证明了收敛性。通过与增强乘性 coalescent 的耦合以及利用近-Feller 性质，作者证明了极限度量空间几乎必然紧致，且全局泛函（如直径）收敛。

ABSTRACT

Random graphs have played an instrumental role in modelling real-world networks arising from the internet topology, social networks, or even protein-interaction networks within cells. Percolation, on the other hand, has been the fundamental model for understanding robustness and spread of epidemics on these networks. From a mathematical perspective, percolation is one of the simplest models that exhibits phase transition, and fascinating features are observed around the critical point. In this thesis, we prove limit theorems about structural properties of the connected components obtained from percolation on random graphs at criticality. The results are obtained for random graphs with general degree sequence, and we identify different universality classes for the critical behavior based on moment assumptions on the degree distribution.

研究动机与目标

• 建立具有给定度序列的随机网络中临界渗流簇的标度极限。
• 通过证明全局下质量界性质，弥合 Gromov-弱收敛与 GHP 收敛之间的差距。
• 证明临界渗流簇的极限度量空间几乎必然紧致。
• 通过证明缩放分量大小的紧致性，将收敛结果推广至直径等全局泛函。
• 推广先前对度序列的假设，允许缓慢变化函数及更广范围的幂律指数。

提出的方法

• 引入算法 3.4，一种动态边生成过程，保留开放半边，支持重复配对，生成相比原过程多出‘坏边’的图。
• 建立原图与增强图之间的自然耦合，使得原图几乎必然为增强图的子图。
• 定义一个缩放过程 $ \bar{\mathbf{Z}}_{n}^{o,{\scriptscriptstyle\mathrm{scl}}} $，其演化为标准增强乘性 coalescent。
• 应用增强乘性 coalescent 的近-Feller 性质，以确保分量大小与多余边的联合收敛。
• 应用定理 26.2，证明在初始条件收敛下增强 coalescent 过程的弱收敛。
• 利用全局下质量界性质，确保极限度量空间的紧致性及全局泛函的收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有指定度序列的随机网络中临界渗流簇的标度极限是否在 GHP 拓扑下收敛？
• RQ2 在一般度序列下，能否为临界渗流簇建立全局下质量界性质？
• RQ3 增强图中‘坏边’的存在如何影响分量大小与多余边的收敛？
• RQ4 度序列的何种条件可确保缩放分量大小的紧致性及直径的收敛？
• RQ5 能否证明临界渗流簇的极限度量空间几乎必然紧致？

主要发现

• 对每个固定的 $ i \geq 1 $，序列 $ (\mathscr{C}_{\scriptscriptstyle(i)}, n^{-\eta}, \boldsymbol{w}) $ 满足全局下质量界性质，从而确保缩放分量大小的紧致性。
• 在假设 5.1 与条件 (5.6) 下，$ \mathrm{UM}_n(\boldsymbol{d}) $ 的最大分量也满足全局下质量界。
• 在条件 (5.10) 下，$ \mathrm{CM}_n(\boldsymbol{d}) $ 与 $ \mathrm{UM}_n(\boldsymbol{d}) $ 的临界渗流簇满足全局下质量界，其中 (5.10) 定义了临界窗口。
• Gromov-弱收敛结合全局下质量界可推出 GHP 收敛，从而确保极限度量空间几乎必然紧致。
• 缩放后临界簇的直径几乎必然收敛，证实了全局泛函的收敛。
• 对度序列的假设被推广至幂律之外，允许 $ \theta_i \in [L_1(i)i^{-a_1}, L_2(i)i^{-a_2}] $，其中 $ a_1, a_2 \in (1/3, 1/2) $，比以往工作更宽松。