[论文解读] Critical Transitions in Thin Layer Turbulence

Santiago Benavides, Alexandros Alexakis|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 6

一句话总结

本研究通过从垂直伽辽金截断导出的简化2D-3D耦合模型，研究了薄层湍流中的能量级联转变。识别出两个临界层高度：一个标志着从前向级联到双向级联的转变，另一个则标志着从双向级联到逆级联的转变，通过高雷诺数模拟揭示了不同临界行为。

ABSTRACT

We investigate a model of thin layer turbulence that follows the evolution of the two-dimensional motions ${\bf u}_{_{2D}} (x,y)$ along the horizontal directions $(x,y)$ coupled to a single Fourier mode along the vertical direction ($z$) of the form ${\bf u}_q (x, y, z)=[v_x(x,y) \sin(qz), v_y(x,y)\sin(qz), v_z(x,y)\cos(qz)\, ]$, reducing thus the system to two coupled, two-dimensional equations. The reduced dimensionality of the model allows a thorough investigation of the transition from a forward to an inverse cascade of energy as the thickness of the layer $H=π/q$ is varied. Starting from a thick layer and reducing its thickness it is shown that two critical heights are met (i) one for which the forward unidirectional cascade (similar to three-dimensional turbulence) transitions to a bidirectional cascade transferring energy to both small and large scales and (ii) one for which the bidirectional cascade transitions to a unidirectional inverse cascade when the layer becomes very thin (similar to two-dimensional turbulence). The two critical heights are shown to have different properties close to criticality that we are able to analyze with numerical simulations for a wide range of Reynolds numbers and aspect ratios.

研究动机与目标

• 为了理解薄层湍流中从前向级联到逆级联的转变，该区域介于三维与二维湍流之间。
• 研究当层厚 $ H = \pi/q $ 变化时，能量级联行为如何改变，特别是接近临界阈值时的情况。
• 确定级联模式之间的转变是否通过连续（类似二阶）或不连续（类似一阶）临界现象发生。
• 分析临界附近系统的统计与动力学特性，包括间歇性与空间结构。
• 探讨这些转变的普遍性类，特别是其是否类似于定向渗流或其他已知的临界现象。

提出的方法

• 通过将垂直依赖关系截断为单个傅里叶模 $ \sin(qz) $ 和 $ \cos(qz) $，将三维纳维-斯托克斯方程简化为两个耦合的二维方程，从而获得二维-三维混合模型。
• 定义控制参数 $ Q = \ell_f / H $，其中 $ \ell_f $ 为强迫尺度，$ H $ 为层厚，以量化二维与三维动力学的相对重要性。
• 在广泛的雷诺数和长宽比范围内执行直接数值模拟，以探测跨尺度的能量通量。
• 分析能量通量 $ \mathcal{E}_q^n $ 和 $ \mathcal{E}_{2D}^n $，以区分前向级联、逆级联与双向级联。
• 利用时间平均能量通量与空间间歇性分析，检测开关行为及结构共存（二维涡旋与三维涡管）。
• 探讨是否可借助空间与时间的乘法噪声模型来描述临界动力学，灵感来自定向渗流与随机场论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当层厚减小时，能量级联如何从前向级联转变为双向级联？
• RQ2 在第一个临界层高 $ H_{3D} $ 处，临界转变的性质是什么？其是否表现出连续或不连续行为？
• RQ3 系统如何在第二个临界层高 $ H_{2D} $ 处从双向级联过渡到逆级联？该转变的标度律是什么？
• RQ4 在两个临界点附近，统计特性（如间歇性、空间结构）如何？是否暗示普遍临界行为？
• RQ5 临界附近的动力学是否可由具有乘法噪声的扩展系统建模？这对普遍性意味着什么？

主要发现

• 识别出两个不同的临界层高 $ H_{3D} $ 与 $ H_{2D} $，分别标志着从前向级联到双向级联的转变，以及从双向级联到逆级联的转变。
• 在 $ H_{3D} $ 附近，逆级联幅度与 $ Q - Q_{3D} $ 呈线性关系，表明为连续转变，且当 $ H \lesssim H_{3D} $ 时逆通量较弱。
• 在 $ H_{3D} $ 附近，能量谱在大尺度与小尺度均接近柯尔莫哥洛夫 $ k^{-5/3} $，同时存在二维涡旋与三维涡管，占据不同空间区域。
• 在 $ H_{2D} $ 附近，三维模态表现出强烈的时间与空间间歇性，随着 $ H \to H_{2D} $，三维结构变得越来越稀少且局域化。
• 第二个临界层高满足 $ H_{2D} \propto \ell_f Re^{-1/2} $，且当 $ H < H_{2D} $ 时，所有三维扰动均呈指数衰减，表明二维逆级联具有稳定性。
• 在 $ H_{2D} $ 附近的临界行为提示可能通过乘法噪声建模，可能与定向渗流普遍性类相关，但尚需进一步分析。