[论文解读] Cross-boundary Behavioural Reprogrammability Reveals Evidence of Pervasive Universality

Jürgen Riedel, Héctor Zenil|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Cellular Automata and Applications被引用 4

一句话总结

本文展示了细胞自动机（CA）通过跨边界可重编程性表现出普遍内在通用性：简单的CA规则可通过粗粒度块变换模拟其他类别的复杂行为。作者表明，随着编译器（初始条件）规模增大，可模拟程序的密度渐近趋近于1，表明几乎所有程序均可被重编程以模拟任意其他程序，且计算开销为线性，不存在有效的压缩搜索策略。

ABSTRACT

We exhaustively explore the reprogrammability capabilities and the intrinsic universality of the Cartesian product $P imes C$ of the space $P$ of all possible computer programs of increasing size and the space $C$ of all possible compilers of increasing length such that $p \in P$ emulates $p^\prime \in P$ with $T|p^\prime|=|p|$ under a coarse-graining transformation $T$. Our approach yields a novel perspective on the complexity, controllability, causality and (re)programmability discrete dynamical systems. We find evidence that the density of (qualitatively different) computer programs that can be reprogrammed grows asymptotically as a function of program and compiler size. To illustrate these findings we show a series of behavioural boundary crossing results, including emulations (for all initial conditions) of Wolfram class 2 Elementary Cellular Automata (ECA) by Class 1 ECA, emulations of Classes 1, 2 and 3 ECA by Class 2 and 3 ECA, and of Classes 1, 2 and 3 by Class 3 ECA, along with results of even greater emulability for general CA (neighbourhood $r=3/2$), including Class 1 CA emulating Classes 2 and 3, and Classes 3 and 4 emulating all other classes (1, 2, 3 and 4). The emulations occur with only a linear overhead and can be considered computationally efficient. We also found that there is no hacking strategy to compress the search space based on compiler profiling in terms of e.g. similarity or complexity, suggesting that no strategy other than exhaustive search is viable. We also introduce emulation networks, derive a topologically-based measure of complexity based upon out- and in-degree connectivity, and establish bridges to fundamental ideas of complexity, universality, causality and dynamical systems.

研究动机与目标

• 研究通过初始条件选择（即编译器）来模拟定性上不同的更复杂程序的简单计算机程序（细胞自动机）的范围。
• 评估细胞自动机在沃尔夫曼类中的通用性与可重编程性，尤其关注超越图灵通用性的内在通用性。
• 确定可重编程程序的密度是否随程序与编译器规模的增加而渐近增长，表明具有普遍的行为转换能力。
• 探索不存在有效的搜索空间压缩策略（例如通过性能分析），暗示发现模拟关系必须依赖穷举搜索。
• 基于模拟网络的连通性建立一种拓扑复杂性度量，将可重编程性与因果关系及动力系统理论联系起来。

提出的方法

• 全面探索笛卡尔积空间 $P \times C$，其中 $P$ 是不断增加规模的所有计算机程序（CA规则）的集合，$C$ 是不断增加长度的所有编译器（初始条件）的集合。
• 使用粗粒度变换 $T$ 将 $p \in P$ 映射为模拟 $p' \in P$，满足 $T|p'| = |p|$，从而实现在不同沃尔夫曼类之间的行为模拟。
• 定义并应用大小为 $n$ 的块变换，将 $k$-色CA映射为 $k^n$-色CA，使2-色CA能够通过 $b_{x,y}^8$ 与 $b_{x',y'}^8$ 之间的基映射模拟其他2-色规则。
• 基于出度与入度连通性构建模拟网络，以推导出一种基于拓扑的复杂性度量。
• 应用定量度量方法，如规则编号变换以及二进制/四进制规则表示，以验证被模拟CA与模拟CA之间的等价性。
• 采用规则空间的自然枚举方法，并应用对称性约化以最小化重复计数，同时保持一般性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过初始条件选择，能够被重编程以模拟其他定性不同的程序的计算机程序的渐近密度是多少？
• RQ2 简单的细胞自动机（例如沃尔夫曼类1）是否能仅以线性开销和无模型特异性偏差，模拟更高类别的复杂行为（例如类4）？
• RQ3 是否存在基于相似性、复杂性或性能分析的编译器搜索空间压缩策略，还是必须依赖穷举搜索？
• RQ4 模拟网络的拓扑结构如何与离散动力系统中的内在通用性及因果复杂性相关联？
• RQ5 内在通用性在规则空间中有多普遍，是否独立于邻域对称性或字母表大小？

主要发现

• 随着编译器（初始条件）规模的增加，可模拟计算机程序的密度渐近趋近于1，表明存在普遍的内在通用性。
• 类1 ECA 可通过适当的粗粒度化和块变换模拟沃尔夫曼类2、3和4的所有规则，包括以线性开销完整模拟类4 ECA。
• 类3 ECA 可模拟所有其他类（1、2、3、4），且具有 $r=3/2$ 邻域范围的一般CA可模拟所有类，包括由类3 CA模拟类4规则。
• 不存在基于编译器性能分析、相似性或复杂性的有效搜索空间压缩策略，暗示必须依赖穷举搜索才能发现模拟关系。
• 模拟网络的出度与入度连通性提供了一种基于拓扑的复杂性度量，其与行为通用性具有相关性。
• 大小为 $n$ 的块变换使2-色CA能够通过在不同8-色基之间映射，模拟其他2-色规则，规则编号等价性经验证为 $R[\oplus_\ell]_{x,y} = \Re[\oplus_2]_{x,y} \bullet b_{x,y}^\ell$。