[论文解读] Crystalline topological phases as defect networks

Dominic V. Else, Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用 4

一句话总结

本文提出了一种缺陷网络图像，通过将晶态拓扑相（包括玻色子和费米子系统中的对称保护拓扑相SPT与对称守恒拓扑相SET）统一为G_int对称拓扑相中的G对称缺陷网络，实现了对它们的统一描述。核心贡献是一个通用框架，建立了该缺陷网络图像与Thorngren与Else（2018）提出的更广泛分类之间的等价性，证明了即使在非可逆和扭结情形下，晶态拓扑相也遵循与内部对称相相同的不变量，这符合晶态等价原理。

ABSTRACT

A crystalline topological phase is a topological phase with spatial symmetries. In this work, we give a very general physical picture of such phases: a topological phase with spatial symmetry $G$ (with internal symmetry $G_{\mathrm{int}} \leq G$) is described by a *defect network*: a $G$-symmetric network of defects in a topological phase with internal symmetry $G_{\mathrm{int}}$. The defect network picture works both for symmetry-protected topological (SPT) and symmetry-enriched topological (SET) phases, in systems of either bosons or fermions. We derive this picture both by physical arguments, and by a mathematical derivation from the general framework of [Thorngren and Else, Phys. Rev. X 8, 011040 (2018)]. In the case of crystalline SPT phases, the defect network picture reduces to a previously studied dimensional reduction picture, thus establishing the equivalence of this picture with the general framework of Thorngren and Else applied to crystalline SPTs.

研究动机与目标

• 统一描述晶态拓扑相分类的多种竞争框架，特别是块态图像与Thorngren和Else（2018）提出的通用框架。
• 通过引入缺陷网络形式化，将块态图像推广至非可逆拓扑相，如具有 anyons 的SET相。
• 确立晶态拓扑相（具有空间对称群G）的分类与内部对称相的分类相同，依据晶态等价原理。
• 在广义上同调中证明从G-bundle到G_m-bundle的限制映射的单射性，确保在晶胞扩大时分类的稳定性。
• 将框架推广至包含内部对称、磁平移和扭结上同调的情形，确保其在费米子和相互作用系统中的广泛适用性。

提出的方法

• 提出缺陷网络图像：在G_int对称拓扑相中，G对称的缺陷网络，其中G为包含空间对称在内的完整对称群。
• 通过物理论证和从Thorngren与Else（2018）的通用框架出发的数学推导，建立缺陷网络图像，使用谱序列和障碍理论。
• 应用Atiyah-Hirzebruch谱序列与Serre谱序列，分析BG与BG_m之间上同调群的限制映射，证明当m与上同调中挠子群互素时，该映射为单射。
• 使用障碍理论证明：若f∘i同伦于常值映射，则f也同伦于常值映射，前提是m与同伦群至维度l的挠子群互素。
• 将论证推广至扭结上同调与BG上的纤维丛，证明在相同互素条件下，单射性依然成立。
• 考虑非阿贝尔群及磁平移等推广情形，证明若m满足模扩张类阶数同余于1，则限制映射仍为单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 晶态拓扑相的块态图像能否推广至非可逆相，如具有anyons的SET相？
• RQ2 缺陷网络图像是否与Thorngren与Else（2018）提出的晶态SPT与SET相的通用分类框架等价？
• RQ3 晶态等价原理——即晶态相的分类方式与内部对称相相同——是否在非可逆和扭结情形下依然成立？
• RQ4 在m与上同调中挠子群互素的条件下，H^n(BG, A)到H^n(BG_m, A)的限制映射在何种条件下为同构或单射？
• RQ5 该分类框架能否推广至包含内部对称、磁平移和扭结上同调群的情形？

主要发现

• 缺陷网络图像为晶态拓扑相提供了统一的描述，适用于玻色子和费米子系统中的SPT与SET相。
• 该框架证明了在晶态等价原理下，具有对称群G的晶态拓扑相的分类，等价于具有群G的内部对称相的分类。
• 当m与A中所有挠子群互素时，H^n(BG, A)到H^n(BG_m, A)的限制映射为同构，该结果通过Serre谱序列与挠子群互素性得到证明。
• 对于扭结上同调，相同单射性结果依然成立，前提是m与扭结系数中挠子群互素，从而将框架扩展至时间反演与方向反转对称情形。
• 该论证可推广至任意广义上同调理论，包括自旋流形与TQFT，此时要求m满足模目标空间π≤n(pt)中挠子群乘积同余于1。
• 该方法适用于磁平移等推广情形，当晶胞扩大为奇数倍时，对称群保持不变，且限制映射仍为单射。