[论文解读] Cubical cospans and higher cobordisms (Cospans in algebraic topology, III)

Marco Grandis|ArXiv.org|Jun 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文引入了两种在同伦意义下稳定的高维cobordism范畴结构：一种是拓扑空间中带边c顾态的弱立方范畴，另一种是使用同伦上积的更简单的准立方范畴。关键贡献在于构建了一个框架，通过退化映射和同伦上积复合，实现将拓扑量子场理论（TQFT）推广至更高立方度。

ABSTRACT

After two papers on weak cubical categories and {\it collarable} cospans, respectively, we put things together and construct a {\it weak} cubical category of cubical {\it collared} cospans of topological spaces. We also build a second structure, called a {\it quasi} cubical category, formed of arbitrary cubical cospans concatenated by homotopy pushouts. This structure, simpler but weaker, has {\it lax} identities. It contains a similar framework for cobordisms of manifolds with corners and could therefore be the basis to extend the study of TQFT's of Part II to higher cubical degree.

研究动机与目标

• 构建拓扑空间中带边c顾态的弱立方范畴 $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$，以确保复合的同伦不变性。
• 解决普通上积在高维立方结构中无法保持同伦类型的缺陷。
• 将可带边c顾态从度数1推广至任意立方度，从而支持高维TQFT的构造。
• 引入一种使用圆柱形退化和同伦上积的准立方范畴 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$，以牺牲严格恒等式为代价，换取可逆比较关系。
• 为将TQFT扩展至度数2以上提供基础，通过范畴化建模带角流形及其cobordism。

提出的方法

• 通过从立方范畴 $\bm{\wedge}^n$ 到 ${{\bf Top}}$ 的函子，构造带边c顾态的弱立方范畴 $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$，其复合通过上积定义。
• 将可带边c顾态定义为可嵌入不相交圆柱（即带边）的c顾态，以确保与同伦上积的兼容性。
• 使用同伦上积替代普通上积进行复合，以确保同伦不变性，并在上同调与（上）同调函子下保持稳定性。
• 引入准立方范畴 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$，其中圆柱形退化 $E_i$ 取代标准退化 $e_i$，且恒等式为弱化形式，因单位比较不可逆。
• 通过 $\mathbb{C}{\rm OB}_{*}(k) \subset \mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 形式化 $k$-维带角流形及其立方cobordism 的结构，从而支持高维TQFT。
• 证明新结构满足立方恒等式（模同构），在准立方情形下，比较关系不要求可逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在拓扑空间的立方c顾态中构建结构，以确保高维下的同伦不变性？
• RQ2 带边在同伦函子下稳定c顾态复合方面起什么作用？
• RQ3 能否通过同伦上积与圆柱形退化构造一种准立方范畴，以放松严格恒等式，同时保持核心范畴结构？
• RQ4 新结构如何将TQFT框架推广至更高立方度？
• RQ5 带边c顾态的弱立方范畴与基于同伦上积的准立方范畴之间存在何种关系？

主要发现

• 构造了带边c顾态的弱立方范畴 $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$，确保上积为同伦上积，从而保持同伦不变性。
• 上同调与（上）同调函子分别将可带边c顾态映射为集合与阿贝尔群中的关系，从而产生代数不变量与TQFT。
• 引入了准立方范畴 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$，其中圆柱形退化 $E_i$ 与同伦上积取代标准运算，导致恒等式为弱化形式。
• $k$-维带角流形及其立方cobordism 的结构 $\mathbb{C}{\rm OB}_{*}(k)$ 嵌入于 $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 中，为高维TQFT提供框架。
• 在准立方设定中，退化恒等律不再严格可逆，比较关系仅为同构而非可逆，反映出范畴严格性的放松。
• 该构造通过使用同伦上积与圆柱形恒等式，推广了Morton与Baez的2-立方TQFT框架，避免了对带边的依赖。