[论文解读] Curvature-based Clustering on Graphs

Yu Tian, Zachary Lubberts+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2023

Topological and Geometric Data AnalysisComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于曲率的聚类框架，利用离散的里奇曲率——Ollivier曲率与Forman曲率——检测图中的单成员及混合成员社区。通过几何流演化边权重，该方法揭示了社区结构；在应用于线图时，于混合成员设置下表现更优，经由理论分析与合成网络及真实网络的实验验证。

ABSTRACT

Unsupervised node clustering (or community detection) is a classical graph learning task. In this paper, we study algorithms, which exploit the geometry of the graph to identify densely connected substructures, which form clusters or communities. Our method implements discrete Ricci curvatures and their associated geometric flows, under which the edge weights of the graph evolve to reveal its community structure. We consider several discrete curvature notions and analyze the utility of the resulting algorithms. In contrast to prior literature, we study not only single-membership community detection, where each node belongs to exactly one community, but also mixed-membership community detection, where communities may overlap. For the latter, we argue that it is beneficial to perform community detection on the line graph, i.e., the graph's dual. We provide both theoretical and empirical evidence for the utility of our curvature-based clustering algorithms. In addition, we give several results on the relationship between the curvature of a graph and that of its dual, which enable the efficient implementation of our proposed mixed-membership community detection approach and which may be of independent interest for curvature-based network analysis.

研究动机与目标

• 开发一种统一的基于曲率的社区检测框架，整合单成员与混合成员聚类。
• 探究离散里奇曲率（Ollivier曲率与Forman曲率）在通过几何边权演化揭示社区结构方面的效用。
• 展示在原图的线图上执行混合成员聚类的优势，其中线图的节点代表原图的边。
• 建立图与其线图之间曲率的理论关系，以支持高效计算与更高检测精度。
• 在合成网络与真实网络（包括生物网络与社交网络）上，通过实证验证所提算法。

提出的方法

• 利用Ollivier曲率（ORC）与Forman曲率（FRC）量化加权与非加权图中的局部几何结构。
• 应用基于曲率的几何流演化边权重，其中低曲率边（社区之间的桥接边）被逐步削弱或移除。
• 在混合成员检测中，将原图转换为其线图，其中将边作为节点进行社区检测。
• 采用具有可调参数α的节点邻域度量方法计算曲率，在实验中表现出对α变化的鲁棒性。
• 提出基于ORC与FRC的聚类算法，后者通过引入高阶结构（如三角形、四边形）得到增强。
• 推导加权图中曲率的理论边界，并证明图与线图之间曲率的关系，以支持算法效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ollivier曲率与Forman曲率在检测图中单成员与混合成员社区方面表现如何比较？
• RQ2 为何在图的线图上执行混合成员社区检测比在原图上更有效？
• RQ3 图的曲率与其线图的曲率之间存在何种关系？该关系如何被算法化利用？
• RQ4 Forman曲率的不同变体（FRC-1、FRC-2、FRC-3）在捕捉社区结构方面表现如何，特别是在密集图中？
• RQ5 邻域度量参数α的选择在多大程度上影响基于曲率的聚类算法性能？

主要发现

• 基于ORC的方法在单成员聚类中优于基于FRC的方法，尤其在稀疏图中表现更佳，真实网络上的NMI分数始终高于0.54。
• 随着图密度增加，FRC-3与ORC之间的线性相关性更强，表明在ORC面临可扩展性问题的密集场景中，FRC-3具有更高的稳定性。
• 在图的线图上执行混合成员聚类可显著提升性能，尤其当节点具有混合成员身份时，得益于更优的边级表示。
• 理论分析证实，线图上的曲率保留了与社区检测相关的结构信息，从而实现高效且准确的检测。
• 采用不同α值的节点邻域度量在性能上变化极小，表明基于曲率的算法对这一超参数具有鲁棒性。
• 在合成网络上的实证结果表明，当 $p_{in} \geq 0.3$ 时，FRC-3能有效区分社区内边与社区间边，而FRC-1与FRC-2在稀疏场景下表现不佳。