[论文解读] Curvature of closed subsets of Euclidean space and minimal submanifolds of arbitrary codimension

Mario Santilli|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 2

一句话总结

本文建立了欧氏空间中闭子集的球面对应映射的近似微分的特征值与主曲率之间的联系，将Federer和Zaehle针对正可达集的结果推广至任意闭子集。文中为任意闭集引入了第二基本形式 $ Q_A $，并证明其二阶近似微分对应于 $ Q_A $ 的绝对连续部分，从而将Calderón–Zygmund理论推广至高余维数的极小流形。

ABSTRACT

Given an arbitrary closed set A of $\mathbf{R}^{n}$, we establish the relation between the eigenvalues of the approximate differential of the spherical image map of A and the principal curvatures of A introduced by Hug-Last-Weil, thus extending a well known relation for sets of positive reach by Federer and Zaehle. Then we provide for every $ m = 1, \ldots , n-1 $ an integral representation for the support measure $ \mu_{m} $ of A with respect to the m dimensional Hausdoff measure. Moreover a notion of second fundamental form $Q_{A} $ for an arbitrary closed set A is introduced so that the finite principal curvatures of A correspond to the eigenvalues of $ Q_{A} $. We prove that the approximate differential of order 2, introduced in a previous work of the author, equals in a certain sense the absolutely continuous part of $ Q_{A} $, thus providing a natural generalization to higher order differentiability of the classical result of Calderon and Zygmund on the approximate differentiability of functions of bounded variation.

研究动机与目标

• 将曲率与微分结构之间的经典关系从正可达集推广至 $\mathbf{R}^n$ 中的任意闭子集。
• 为所有 $ m = 1, \dots, n-1 $ 提供支撑测度 $ \mu_m $ 关于 $ m $-维Hausdorff测度的积分表示。
• 为任意闭集定义第二基本形式 $ Q_A $，使其特征值对应于有限的主曲率。
• 建立二阶近似微分与 $ Q_A $ 的绝对连续部分之间的联系，将Calderón–Zygmund结果推广至高余维数。

提出的方法

• 为任意闭集 $ A \subset \mathbf{R}^n $ 引入第二基本形式 $ Q_A $ 的概念，通过其特征值将其与主曲率联系起来。
• 利用球面对应映射将 $ A $ 的近似微分与曲率信息联系起来，推广Federer和Zaehle的框架。
• 利用 $ m $-维Hausdorff测度，为支撑测度 $ \mu_m $ 推导其积分表示，其中 $ m = 1, \dots, n-1 $。
• 定义二阶近似微分，并证明其在测度意义下与 $ Q_A $ 的绝对连续部分一致。
• 应用几何测度论与近似可微性的工具，将函数有有界变差的古典结果推广至高余维数情形。
• 建立 $ Q_A $ 的谱性质与曲率不变量之间的对应关系，即使在缺乏光滑性时亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过微分几何对象表征 $ \mathbf{R}^n $ 中任意闭集的主曲率？
• RQ2 在正可达情形之外，球面对应映射的近似微分与闭集曲率之间存在何种关系？
• RQ3 如何利用Hausdorff测度，为所有 $ m = 1, \dots, n-1 $ 对支撑测度 $ \mu_m $ 建立积分表示？
• RQ4 第二基本形式 $ Q_A $ 在何种意义上推广了光滑子流形的古典第二基本形式？
• RQ5 二阶近似微分与 $ Q_A $ 的绝对连续部分之间存在何种关系？这对几何测度论中的高阶可微性意味着什么？

主要发现

• 闭子集 $ A \subset \mathbf{R}^n $ 的球面对应映射的近似微分的特征值，恰好对应于Hug、Last与Weil所定义的主曲率。
• 为所有 $ m = 1, \dots, n-1 $ 建立了支撑测度 $ \mu_m $ 的积分表示，其表达式基于 $ m $-维Hausdorff测度。
• 为任意闭集定义了第二基本形式 $ Q_A $，其特征值精确捕捉了 $ A $ 的有限主曲率。
• 二阶近似微分与 $ Q_A $ 的绝对连续部分一致，为Calderón–Zygmund定理向高余维数极小流形的自然推广提供了依据。
• 该框架将原本仅适用于正可达集或光滑子流形的古典曲率与可微性结果，推广至欧氏空间中的任意闭子集。
• 该理论在单一统一的框架内统一了曲率、测度与可微性，适用于非光滑及高余维数对象。