[论文解读] Curve counting on elliptic Calabi-Yau threefolds via derived categories

Georg Oberdieck, Junliang Shen|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用 16

一句话总结

本文证明了椭圆Calabi–Yau三fold上具有基空间中简化类的Pandharipande–Thomas不变量的生成系列满足Jacobi形式的椭圆变换律，确立了深刻的模形式结构。通过使用导出自同构和壁穿刺技术，作者将PT不变量表示为Gromov–Witten不变量和通用Jacobi形式的组合，证明该系列是K3×E上权为-10的拟Jacobi形式，为Igusa尖形式猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

We prove the elliptic transformation law of Jacobi forms for the generating series of Pandharipande--Thomas invariants of an elliptic Calabi--Yau 3-fold over a reduced class in the base. This proves part of a conjecture by Huang, Katz, and Klemm. For the proof we construct an involution of the derived category and use wall-crossing methods. We express the generating series of PT invariants in terms of low genus Gromov--Witten invariants and universal Jacobi forms. As applications we prove new formulas and recover several known formulas for the PT invariants of $\mathrm{K3} imes E$, abelian 3-folds, and the STU-model. We prove that the generating series of curve counting invariants for $\mathrm{K3} imes E$ with respect to a primitive class on the $\mathrm{K3}$ is a quasi-Jacobi form of weight -10. This provides strong evidence for the Igusa cusp form conjecture.

研究动机与目标

• 理解导出自同构如何约束Calabi–Yau三fold上的曲线计数不变量。
• 验证Huang–Katz–Klemm关于Pandharipande–Thomas不变量生成系列模性质的猜想。
• 在曲线计数的背景下，建立导出范畴与Jacobi形式之间的联系。
• 利用壁穿刺和Gromov–Witten理论，为PT不变量提供新的计算工具。
• 通过K3×E的情形，为Igusa尖形式猜想提供强有力证据。

提出的方法

• 在椭圆Calabi–Yau三fold的相干层导出范畴上构造一个对合。
• 使用壁穿刺技术将Pandharipande–Thomas不变量与Gromov–Witten不变量关联起来。
• 将PT不变量的生成系列表示为模形式与Jacobi形式的比值。
• 应用Jacobi形式理论，推导出生成系列的椭圆变换律。
• 利用退化论证和Gromov–Witten理论，在阿贝尔三fold与K3×E上计算不变量。
• 利用GW/PT对应关系及已知的通用Jacobi形式公式，推导出显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出自同构如何影响Calabi–Yau三fold上的曲线计数不变量？
• RQ2 对于椭圆Calabi–Yau三fold，Pandharipande–Thomas不变量的生成系列是否如Huang、Katz与Klemm所预测的那样具有模性质？
• RQ3 在K3×E上，K3部分具有本原类时，PT不变量的生成系列是否为权为-10的拟Jacobi形式？
• RQ4 是否可以利用壁穿刺与导出范畴，将PT不变量表示为Gromov–Witten不变量的形式？
• RQ5 这些结果是否支持Igusa尖形式猜想？

主要发现

• 对于椭圆Calabi–Yau三fold基空间中简化类H，PT不变量的生成系列满足指数为h−1的Jacobi形式的椭圆变换律，其中h为H的算术亏格。
• 系列Z_H(q,t) = PT_H(q,t)/PT_0(q,t)是K3×E上权为-10的拟Jacobi形式，为Igusa尖形式猜想提供了强有力证据。
• 对于K3×E上具有亏格1的本原类H_1，生成系列为PT_H_1(q,t) = 24 · Δ(t)⁻¹ · ℘(q,t)，其中Δ(t)为模判别式，℘(q,t)为Jacobi形式。
• 对于阿贝尔三重A×E上具有亏格2的类H，生成系列为PT^A×E_2(q,t) = φ_{-2,1}(q,t)，即权为-2、指数为1的标准Jacobi形式。
• 对于A×E上亏格3的类，假设GW/PT对应成立，系列为PT^A×E_3(q,t) = 12·℘(q,t)·φ_{-2,1}(q,t)² − ϑ_{D4}(t)·φ_{-2,1}(q,t)²，其中ϑ_{D4}(t)为theta函数。
• 在A×E上，亏格3的欧拉特征版本的生成系列不具有模性，表明模性不适用于朴素的欧拉特征。