[论文解读] Cwikel Estimates and Negative Eigenvalues of Schroedinger Operators on Noncommutative Tori

Edward McDonald, Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 50被引用 4

一句话总结

该论文在所有维度 $n \geq 2$ 下建立了非交换环面上的Schrödinger算子的Cwikel型估计，从而推导出负特征值的Cwikel-Lieb-Rozenblum（CLR）与Lieb-Thirring（LT）不等式。此外，通过为具有孤立零特征值的算子提出一种新颖的“临界”Birman-Schwinger原理，进一步证明了Sobolev不等式。

ABSTRACT

In this paper, we establish Cwikel-type estimates for noncommutative tori for any dimension~$n\geq 2$. We use them to derive Cwikel-Lieb-Rozenblum inequalities and and Lieb-Thirring inequalities for the number of negative eigenvalues of fractional Schroedinger operators on noncommutative tori in any dimension~$n\geq 2$. The latter leads to a Sobolev inequality for noncommutative tori. On the way we establish a "borderline version" of the abstract Birman-Schwinger principle for the number of negative eigenvalues of relatively compact form perturbations of a non-negative semi-bounded operator with isolated 0-eigenvalue.

研究动机与目标

• 将Cwikel型估计推广至所有维度 $n \geq 2$ 的非交换环面。
• 为非交换环面上的分数阶Schrödinger算子的负特征值推导Cwikel-Lieb-Rozenblum（CLR）不等式。
• 在非交换环面上建立负特征值的Lieb-Thirring（LT）不等式，并由此推导出Sobolev不等式。
• 为具有孤立零特征值的非负半有界算子的相对紧形式扰动，发展一种‘临界’版本的抽象Birman-Schwinger原理。

提出的方法

• 利用非交换迹-理想技术，为非交换环面 $\mathbb{T}^n_\theta$ 上的算子 $\lambda(x)g(-i\nabla)$ 推导Cwikel型估计，其中 $x \in L_p(\mathbb{T}^n_\theta)$，$p \geq 2$。
• 将这些估计应用于非交换环面上的分数阶Schrödinger算子 $\Delta^{n/2p} + V$，以控制负特征值的个数。
• 利用专为具有孤立零特征值的算子设计的改进型抽象Birman-Schwinger原理，将负特征值的个数与Birman-Schwinger核的Schatten范数联系起来。
• 通过有界Birman-Schwinger算子的弱Schatten范数控制势函数负部的 $L^{n/2}$-范数，推导出 $\gamma=1$ 与 $p=n/2$ 时的Lieb-Thirring不等式。
• 利用已知的 $\gamma=1$ 情形与Sobolev嵌入之间的等价性，从Lieb-Thirring不等式推导出非交换环面上的Sobolev不等式。
• 通过非交换 $L_p$-空间、$\mathbb{T}^n_\theta$ 上的导子以及Schrödinger类的谱理论工具，证明主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cwikel型估计能否推广至所有维度 $n \geq 2$ 的非交换环面？
• RQ2 Cwikel-Lieb-Rozenblum不等式是否对非交换环面上的分数阶Schrödinger算子成立？
• RQ3 能否在非交换环面上建立负特征值的Lieb-Thirring不等式？它们是否蕴含Sobolev不等式？
• RQ4 在非交换设定下，是否存在适用于具有孤立零特征值算子的有意义的‘临界’版本Birman-Schwinger原理？
• RQ5 在非交换环面上，所得Lieb-Thirring与Sobolev不等式的最佳常数是多少？

主要发现

• 为非交换环面上的 $\lambda(x)g(-i\nabla)$（$p \geq 2$）建立了Cwikel型估计，将经典结果推广至非交换设定。
• 证明了分数阶Schrödinger算子在非交换环面上的Cwikel-Lieb-Rozenblum不等式，给出了负特征值个数的上界，其依赖于 $V_-$ 的 $L^{n/2}$-范数。
• 推导出 $\gamma=1$ 与 $p=n/2$ 时的Lieb-Thirring不等式，其最佳常数满足 $L_n \leq \frac{2}{n+2}\left(\frac{n}{n+2}K_n\right)^{-n/2}$，其中 $K_n$ 是非交换Sobolev嵌入的最佳常数。
• 提出并证明了一种新的‘临界’Birman-Schwinger原理，适用于具有孤立零特征值的非负半有界算子的相对紧形式扰动，从而可通过Schatten范数实现谱计数。
• $\gamma=1$ 时的Lieb-Thirring不等式蕴含非交换环面上的Sobolev不等式，建立了经典情形中两者等价性的非交换类比。
• 结果适用于所有维度 $n \geq 2$，且该框架适用于标准与分数阶Schrödinger算子在非交换环面上的情形。