[论文解读] Cycle classes for p-adic étale Tate twists and the image of p-adic regulators

Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文构建了取值于 $ p $-进平展 Tate twist 的陈类与周期类映射，建立了 $ p $-进平展上同调与伽罗瓦上同调有限部分之间的联系。在单值-权重猜想成立、且 $ p $ 和 $ r $ 足够大的条件下，证明了 $ p $-进平展 Tate twist 上的滤过分次项与伽罗瓦上同调的有限部分一致，将 $ p $-进点猜想推广至半稳定约化情形。

ABSTRACT

In this paper, we construct Chern class maps and cycle class maps with values in p-adic étale Tate twists [S2]. We also relate the p-adic étale Tate twists with the finite part of Bloch-Kato. As an application, we prove that the integral part of p-adic regulator maps has values in the finite part of Galois cohomology under certain assumptions.

研究动机与目标

• 为算术概形定义取值于 $ p $-进平展 Tate twist 的陈类与周期类映射。
• 通过引入对数极点变体，克服这些系数下平展上同调缺乏同伦不变性的缺陷。
• 通过 Fontaine-Jannsen 猜想将 $ p $-进平展 Tate twist 与伽罗瓦上同调的有限部分联系起来。
• 将 $ p $-进点猜想推广至半稳定约化情形。
• 在适当假设下，证明 $ p $-进正规化映射的整数部分落入伽罗瓦上同调的有限部分。

提出的方法

• 在 $ \mathbb{Z}/p^n $-层的导出范畴中构造 $ p $-进平展 Tate twist $ \mathfrak{T}_n(r)_X $，并配备乘积结构与函子性结构。
• 引入沿水平法向交叉除子的对数极点版本的 $ p $-进平展 Tate twist，以恢复同伦不变性的 $ p $-进类比。
• 证明了 $ p $-进同伦不变性结果（推论 4.3）与半纯性性质（定理 6.5）适用于对数极点变体。
• 利用 Dold-Thom 同构与 $ \mathfrak{T}_n(r)_X $ 上的乘积结构，定义陈类映射 $ c_{r,m} $。
• 通过类比 Bloch 的构造，基于新系数系统定义周期类映射 $ \mathrm{cl}_X^{r,m} $。
• 依赖 Fontaine-Jannsen 猜想（由 Hyodo、Kato、Tsuji 证明），将 $ H^i(X, \mathfrak{T}_{\mathbb{Q}_p}(r)_X) $ 与伽罗瓦上同调联系起来，并定义滤过 $ F^\bullet $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当高阶 Chow 上同调群缺乏乘积结构时，如何构造取值于 $ p $-进平展 Tate twist 的陈类与周期类映射？
• RQ2 尽管缺乏同伦不变性，能否为取值于 $ \mathfrak{T}_n(r)_X $ 的平展上同调建立 $ p $-进同伦不变性的类比？
• RQ3 在何种条件下，分次项 $ \mathrm{gr}_F^1 H^i(X, \mathfrak{T}_{\mathbb{Q}_p}(r)_X) $ 与有限部分 $ H^1_f(K, H^{i-1}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_p(r))) $ 一致？
• RQ4 在半稳定约化情形下，$ p $-进正规化映射的像如何与伽罗瓦上同调的有限部分关联？
• RQ5 在算术几何中，$ p $-进平展 Tate twist 上同调在多大程度上捕捉了伽罗瓦上同调的有限部分？

主要发现

• 利用 Dold-Thom 同构与 $ \mathfrak{T}_n(r)_X $ 上的乘积结构，构造了陈类映射 $ c_{r,m}: K_m(X) \to H^{2r-m}_{\acute{e}t}(X, \mathfrak{T}_n(r)_X) $。
• 通过 $ p $-进同伦不变性结果，基于对数极点 Tate twist，构造了周期类映射 $ \mathrm{cl}_X^{r,m}: \mathrm{CH}^r(X,m) \to H^{2r-m}_{\acute{e}t}(X, \mathfrak{T}_n(r)_X) $。
• 在单值-权重猜想成立且 $ p $、$ r $ 足够大的条件下，证明了分次项 $ \mathrm{gr}_F^1 H^i(X, \mathfrak{T}_{\mathbb{Q}_p}(r)_X) $ 同构于有限部分 $ H^1_f(K, H^{i-1}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_p(r))) $。
• 在所述假设下，$ p $-进正规化映射 $ \mathrm{reg}_p^{2r-i-1,r} $ 的整数部分落入伽罗瓦上同调的有限部分 $ H^1_f(K, H^i(\overline{V}, \mathbb{Q}_p(r))) $。
• 该构造提供了 Langer 和 Nekovář 结果的无瑕版本，将对数晶状上同调与伽罗瓦上同调的几何部分联系起来。
• 通过利用对数结构与 $ p $-进霍德理论定义的映射的相容性，确立了涉及晶状、晶体与伽罗瓦上同调的关键交换图的交换性。